Una successione di quasi-quadrati

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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luca95
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Una successione di quasi-quadrati

Messaggio da luca95 » 08 giu 2015, 12:07

Sia $ u_n $ la successione tale che $ u_1=2,u_2=u_3=7 $ e
$ u_{n+1}=u_nu_{n-1}-u_{n-2} $ per ogni $ n\geq 3 $. Dimostrare che $ u_n $ differisce di due da un quadrato perfetto per ogni $ n\geq 1 $.

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Nemo
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Re: Una successione di quasi-quadrati

Messaggio da Nemo » 12 giu 2015, 14:13

Visto che nessuno pubblica una soluzione, ci provo io...

Sia $\{a_n\}$ un successione così definita $\begin{cases}
a_1=2 \\ a_2=3 \\ a_3=3 \\ a_{n+1}=a_{n} \, a_{n-1}-a_{n-2}
\end{cases}$

Dimostro per induzione la seguente uguaglianza
$$a_{n}^2 + a_{n-1}^2 + a_{n-2}^2 = a_{n} \, a_{n-1} \, a_{n-2} + 4 \qquad \qquad (1) $$
Passo base: $ a_{3}^2 + a_{2}^2 + a_{1}^2 = a_{3} \, a_{2} \, a_{1} + 4 \\ $
Passo induttivo: $ a_{n}^2 + a_{n-1}^2 + a_{n-2}^2 = a_{n} \, a_{n-1} \, a_{n-2} + 4 \\
\begin{align*} \Rightarrow a_{n+1}^2+a_{n}^2 + a_{n-1}^2 &= a_{n} \, a_{n-1} \, a_{n-2} + 4 + a_{n+1}^2 + a_{n-2}^2 \\
&= a_{n+1}^2 + a_{n-2} \, \left( a_{n} \, a_{n-1} - a_{n-2}\right) + 4 \\
&= a_{n+1} \, (a_{n+1}-a_{n-1})= a_{n+1} \, a_{n} \, a_{n-1} +4 \end{align*} $

Dimostro per induzione che $ u_n=a_n^2-2 $ (e quindi dimostro la tesi)

Passo base: $\begin{cases} u_1=a_1^2-2 \\ u_2=a_2^2-2 \\ u_3=a_3^2-2 \end{cases} \\$
Passo induttivo: $ u_{n-2}=a_{n-2}^2-2, \; u_{n-1}=a_{n-1}^2-2, \; u_{n}=a_{n}^2-2 \\
\begin{align*} \Rightarrow u_{n+1} &=u_{n} \, u_{n-1}-u_{n-2} = (a_{n}^2-2) \,( a_{n-1}^2-2) - a_{n-2}^2+2\\
&= a_{n}^2\, a_{n-1}^2 -2 a_{n-1}^2-2 a_{n}^2 - a_{n-2}^2+6 \\
&= a_{n}^2\, a_{n-1}^2 -2 a_{n} \, a_{n-1} \, a_{n-2}-8+a_{n-2}^2+6 = a_{n+1}^2-2\end{align*}$

In generale vale che, per qualsiasi scelta di $a_1, a_2, a_3$ tali che l'uguaglianza $(1)$ sia verificata, la tesi è vera.
Spero sia corretto... :wink:
[math]

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