180. "strabellofigapalesewow"

[LucaMac]

Chiamiamo "strabellofigapalesewow" un insieme $ \mathbb{A} $ di interi tale che se $x,y \in \mathbb{A} $ allora anche $x^2+kxy+y^2 \in \mathbb{A} $ per ogni $k$ intero.
Determinare tutte le coppie $(m,n)$ tali che l'unico insieme "strabellofigapalesewow" che contiene sia $m$ che $n$ è $ \mathbb{Z} $

[karlosson_sul_tetto]

$k$ anche intero nullo o negativo?

[LucaMac]

Si, $k \in \mathbb{Z} $

[erFuricksen]

Proviamo, sperando di evitare fraintendimenti.

Se non ho capito male la tesi ci chiede tutte le coppie $(m,n)$ t.c. $\mathbb{A}=\mathbb{Z}$.
Beh allora vuol dire che devono esistere $n$ e $n+1$ t.c.
$n^2+kmn+m^2=a$ e $n^2+hmn+m^2=a+1$ per dei certi $k$ e $h$ interi.
Allora per differenza $mn(h-k)=1$ ma siccome tutti e tre i fattori di LHS sono interi allora tutte le coppie possibili sono date dalle combinazioni di $m=\pm 1$ e $n=\pm 1$.

[cip999]

Mhh, non direi... L'ipotesi ti dice che tutti i numeri della forma $m^2 + kmn + n^2$ sono in $\mathbb{A}$, non l'inverso!
(Per intenderci, appartengono ad $\mathbb{A}$ anche (ad esempio) tutti gli interi che si scrivono come $m^2 +hm(m^2 + kmn + n^2) + (m^2 + kmn + n^2)^2$)

Comunque, posso prendere anche $x = y$, vero?

[erFuricksen]

Sì ma un conto è quello che dice l'ipotesi, un conto è quello che chiede la tesi!
Quello che intendo io è che se l'unico insieme che può contenere $m,n$ è $\mathbb{Z}$, allora $\mathbb{A}$ deve coincidere esattamente con $\mathbb{Z}$, altrimenti $m,n$ potrebbero essere contenuti in un suo sottoinsieme.

[scambret]

Odio spassionato per questi nomi di m... agli esercizi

Che bello che l'avevo fatto due settimane fa

[LucaMac]

è come dice cip999...

[EvaristeG]

Proviamo, sperando di evitare fraintendimenti.

Se non ho capito male la tesi ci chiede tutte le coppie $(m,n)$ t.c. $\mathbb{A}=\mathbb{Z}$.
Beh allora vuol dire che devono esistere $n$ e $n+1$ t.c.
$n^2+kmn+m^2=a$ e $n^2+hmn+m^2=a+1$ per dei certi $k$ e $h$ interi.
Allora per differenza $mn(h-k)=1$ ma siccome tutti e tre i fattori di LHS sono interi allora tutte le coppie possibili sono date dalle combinazioni di $m=\pm 1$ e $n=\pm 1$.

Dunque, l'assunto da cui tu parti è che TUTTI gli elementi di $\mathbb{A}$ debbano essere ottenuti proprio da $m$ e $n$.
Ma ad esempio potresti costruire, che so, $b=m^2+3nm+n^2$ e poi costruire $b^2-bn+n^2$...

[erFuricksen]

Ops! Ok, allora ci ridarò un'occhiata

[Mountains Drew]

"strabellofigapalesewow"... sicuramente era così anche nel testo originale


Soluzione

Testo nascosto:

Risposta: $\mathbb{A}=\mathbb{Z}$ sse $(m,n)=1$

Osserivamo che se $d|m$ e $d|n$ allora posso sostituire a $x$ e a $y$ solo multipli di $d$ quindi $d|x^2+hxy+y^2$,
quindi non mi basta per dire che $\mathbb{A}=\mathbb{Z}$, perchè prendo solo i multipli di $d$.

Se $(m,n)=1$ faccio così:

Sotituisco $x=y=n$ e ottengo che $(h+2)n^2 \in \mathbb{A}$, $\forall h\in \mathbb{Z}$, quindi ho tutti i multipli di $n^2$.

Per lo stesso motivo ho anche tutti i multipli di $m^2$.

Siccome $(n^2,m^2)=1$ avrò anche ottenuto due numeri $a, a+1$ con differenza 1 (Bezout).

Sosituisco $x=a, \, y=a+1,\, h=-2$
$$ a^2 -2a(a+1) +(a+1)^2 = a^2 -2a^2 -2a +a^2 +2a +1 =1$$

Ora sostituisco $x=y=1$ e facendo variare $h$ in $\mathbb{Z}$ ottengo tutti gli interi.

[LucaMac]

Ok giusta vai pure col prossimo
p.s. Ovviamente era così nel testo originale