178. $\phi(a^2)=\phi(b^2)$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Troleito br00tal
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178. $\phi(a^2)=\phi(b^2)$

Messaggio da Troleito br00tal » 02 giu 2015, 14:05

Determinare tutte le coppie di interi positivi tali che $\phi(a^2)=\phi(b^2)$, dove $\phi$ è la funzione di Eulero.

AGallese
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Re: 178. $\phi(a^2)=\phi(b^2)$

Messaggio da AGallese » 02 giu 2015, 22:18

Sia $p$ il più grande primo tale che $p\mid ab$.
Supponiamo WLOG che $p^{\alpha}\mid\mid a$ per un qualche $\alpha$ intero positivo, allora $p^{2\alpha -1} \mid\mid\phi(a^2)$,
perché per ogni primo $q$ si ha che $\phi(q^{2\gamma})=q^{2\gamma -1}(q-1)$ e se $q < p$ allora $q-1 < p$, quindi $p \nmid q-1$.
Per avere l'uguaglianza, si dovrà allora avere anche $p^{2\alpha -1} \mid\mid\phi(b^2)$ e, per le stesse ragioni, si ha che $p^{\alpha}\mid\mid b$.

Possiamo ora dividere $a^2$ e $b^2$ per $p^{2\alpha}$ e rifare le stesse considerazioni fino a quando non finiscono i primi, da cui $a=b$.


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