IMO 1968

[polarized]

Trovare tutti i numeri $ n $ tali che il prodotto delle cui cifre sia $ n^2-10n-22 $

E' un problema abbastanza carino dal mio punto di vista

[Ratman98]

Osservo che se $x$ è una delle cifre di $n$, allora $x| n^2-10n-22$. Attraverso le congruenze si verifica facilmente che , per $1\leq k \leq 9$, gli unici $k$ che possono dividere $n^2-10n-22$ sono 1 e 2. Quindi le cifre di $n$ sono tutte uguali a 0,1 o 2. Se c'è uno 0 come cifra,$n^2-10n-22=0$; se tutte le cifre sono uguali ad 1, $n^2-10n-22=1$. In entrambi i casi non ottengo soluzioni per $n$ intero. Segue che $n^2-10n-22=2^m$ per qualche $m$ intero positivo. Ma deve essere $m<2$ perché sappiamo che 4 non divide il membro di sinistra. Quindi:
$n^2-10n-22=2$
che ci fornisce l'unico $n$ che rispetta le condizioni date, ossia $n=12$.

[polarized]

Buono!

[GimmyTomas]

Oppure, in modo molto più brutto e brutale, dato che il numero delle cifre di $n$ è $\lfloor\log_{10}n\rfloor+1$, si ha $$n^2-10n-22\leq 9^{\lfloor\log_{10}n\rfloor+1}=9\cdot9^{\lfloor\log_{10}n\rfloor}<9\cdot 10^{\lfloor\log_{10}n\rfloor}\leq9\cdot10^{\log_{10}n}=9n$$ quindi $n^2-19n-22<0$ e questa cosa è vera fino a $n=20$, quindi basta provare fino a lì.

[Talete]

[...] questa cosa è vera fino a $n=20$, quindi basta provare fino a lì.

Mi ricordi un mio amico che una volta ha risolto un problema con un ragionamento del genere: "Notiamo che se $n\ge799$ non ci sono soluzioni. Allora provando fino a lì otteniamo che le soluzioni sono..." e poi ha elencato le soluzioni che aveva trovato provando

Comunque una soluzione un po' più bella (= con un po' meno casi da fare a mano) è questa:

$n\le 11$ implica $n^2-10n-22=n(n-10)-22\le11(n-10)-22=11n-132\le121-132<0$, un po' falsa la tesi, no?

Sia $a$ la prima cifra decimale da sinistra di $n$. Inoltre $n\ge10$. Detto $k$ il numero di cifre di $n$, si ha che il prodotto delle cifre è strettamente minore di $a\cdot 9^{k-1}$, che avendo meno cifre di $n$ è certamente minore di $n$. Quindi si deve avere $n^2-11n-22<0$.

$n\ge 13$ implica $n^2-11n-22=n(n-11)-22\ge 13(n-11)-22=13n-165\ge169-165>0$, e anche qui niente possibilità.

Quindi, ci manca solo un caso da fare, che è $n=12$. Il prodotto delle cifre di $12$ è $2=144-120-22=12^2-10\cdot12-22=n^2-10n-22$. Et voilà!

[Ratman98]

Credo dovrebbe essere $n\ge 13$. Inoltre, detto $k$ il numero delle cifre di $n$ , dovrebbe essere $a\times 9^{k-1}<n$ e non $a \times 9^{n-1}<n$. O no?

[Talete]

Credo dovrebbe essere $n\ge 13$. Inoltre, detto $k$ il numero delle cifre di $n$ , dovrebbe essere $a\times 9^{k-1}<n$ e non $a \times 9^{n-1}<n$. O no?

Sì, $n\le13$ era un typo. L'altro, ho semplicemente chiamato $n$ sia il numero dato che il numero delle cifre del numero dato! Abuso di notazione Ora cambio... grazie!

[Ratman98]

Figurati. Anzi, grazie a te per la soluzione "lampo" .