longlisted 1976/4

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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luca95
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longlisted 1976/4

Messaggio da luca95 » 31 mag 2015, 22:12

Trovare tutte le coppie $ (m,n) $ di numeri naturali per cui
$ 2^m\cdot 3^n+1 $ è un quadrato.

lucaman
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Re: longlisted 1976/4

Messaggio da lucaman » 02 giu 2015, 12:39

Testo nascosto:
$ 2^m\cdot3^n+1=x^2 \Leftrightarrow 2^m\cdot3^n=(x-1)(x+1) $
$ MCD((x+1);(x+1)) $ divide la differenza dei due numeri quindi divide $ 2 $ ne segue che i due numeri o sono primi tra loro o hanno un fattore $ 2 $ in comune.
Se $ (x-1) $ e $ (x+1) $ sono primi tra loro allora uno di loro è uguale a $ 2^m $ e l'altro è uguale a $ 3^n $ e sommandoli abbiamo $ 2x=2^m+3^n $ da cui possiamo dedurre che $ m=0 $ perchè il $ RHS $ deve essere pari.Il caso $ x+1=2^0 $implica $ x=0 $ che non da soluzioni,mentre il caso $ x-1=2^0 $ implica $ x=2 $ che verifica l'equazione per $ n=1 $.
Se invece $ (x-1) $ e $ (x+1) $ non sono primi tra loro,allora uno è uguale a $ 2^{m-1} $ e l'altro a $ 2\cdot3^n $.
Nel caso in cui $ x-1=2^{m-1} $ e $ x+1=2\cdot3^n $ si ha ricavando la $ x $ da entrambe le equazioni $ x=2^{m-1}+1=2\cdot3^n-1 \rightarrow 2^{m-1}+2=2\cdot3^n \rightarrow 2^{m-2}=3^n-1 $.Notiamo che $ m=3 $ e $ n=1 $ soddisfano l'equazione,invece per $ m>3 $ possiamo guardare l'equazione modulo $ 4 $ e dedurre che $ n $ è pari.Per cui $ 2^{m-2}=(3^{\frac{n}{2}}-1)\cdot(3^{\frac{n}{2}}+1) $.Ma le uniche potenze di $ 2 $ che differeiscono di $ 2 $ sono $ 2 $ e $ 4 $,quindi $ n=2 $ e $ m=5 $.
Nel caso in cui $ x+1=2^{m-1} $ e $ x-1=2\cdot3^n $ si ha ricavando la $ x $ da entrambe le equazioni $ x=2^{m-1}-1=2\cdot3^n+1 \rightarrow 2^{m-1}-2=2\cdot3^n\rightarrow 2^{m-2}-1=3^n $.Per $ m=3 $ non ci sono soluzioni,per $ m=4 $ si ha che $ n=1 $ verifica l'equazione mentre per $ m>4 $ possiamo dedurre che l'equazione è impossibile guardandola modulo $ 8 $,infatti il $ RHS $ è congruo o a $ 1 $ o a $ 3 $ mentre il $ LHS $ è sempre congruo a $ -1 $.
quindi le uniche coppie sono $ (0,1) (3,1) (5,2) (4,1) $

Nano57
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Re: longlisted 1976/4

Messaggio da Nano57 » 02 giu 2015, 14:13

Ti è sfuggito nell'ultimo caso che per $ m=3 $ ci sono soluzioni, in quanto l'equazione diventa $ 2 - 1 = 3^n $ da cui $ n = 0 $
Quindi c'è anche la coppia $ (3,0) $. Per il resto mi pare corretta :)

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