La funzionale che risolleverà il forum

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Avatar utente
Troleito br00tal
Messaggi: 679
Iscritto il: 16 mag 2012, 22:25

Re: La funzionale che risolleverà il forum

Messaggio da Troleito br00tal » 23 mag 2015, 20:22

Posta pure la tua soluzione, se ne hai una

Finora tutti sono lontani dal vero $c$...

Avatar utente
Draco76
Messaggi: 21
Iscritto il: 17 gen 2014, 20:24
Località: Complessi edili Torinesi

Re: La funzionale che risolleverà il forum

Messaggio da Draco76 » 23 mag 2015, 20:47

Sono abbastanza fiducioso nel fatto che non riusciranno mai a raggiungere $c \ldots$
Knowledge is more important than imagination. For imagination is limited, whereas knowledge embraces the entire world, stimulating progress, bashing shortlist's problems. (Albert E.)

IMPORTANTE: firma anche tu la petizione!

Avatar utente
Lasker
Messaggi: 330
Iscritto il: 02 mag 2013, 20:47
Località: Udine

Re: La funzionale che risolleverà il forum

Messaggio da Lasker » 23 mag 2015, 20:49

Draco76 ti sbagli, $c$ si può raggiungere in quanto non è maggiore di $c$ (come lo è ad esempio $c^2$!)!

Sarebbe strafigo se la vera costante fosse connessa in qualche modo con la sezione aurea, se così non fosse vi prego di non svegliarmi :lol:
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

erFuricksen
Messaggi: 158
Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
Località: Genova

Re: La funzionale che risolleverà il forum

Messaggio da erFuricksen » 24 mag 2015, 15:32

Ok arriva $c$ reale; userò lo stesso ragionamento di prima ma con altri valori:

di nuovo abbiamo $\phi (f(x)) \le \phi (x) \le x-1$

Fatto ancora più importante: $\phi (n) \ge ({n \over 2})^{\log _3 2}$

Lo dimostriamo in modo identico a prima, con ${p_1}^{\alpha _1 -1} \cdot {p_2}^{\alpha _2 -1} ... {p_k}^{\alpha _k -1} (p_1 -1)(p_2 -1) ... (p_k - 1) \ge ({n \over 2})^{\log _3 2}$
Da cui ${p_1}^{(\log _2 3 -1)\alpha _1 - log _2 3}...(p_1 -1)^{\log _2 3}... \ge 1$
In particolare abbiamo che $p^{(\log _2 3 -1)\alpha _1 - log _2 3} \ge 1$ se $(\log _2 3 -1)\alpha _1 - log _2 3 \ge 0$
da cui arriviamo a (salterò i passaggi dei conti, che sono semplici) $\alpha \ge 2,7...$
Quindi se $\alpha \ge 3$ non abbiamo problemi, se invece $\alpha $ è minore, consideriamo solo il caso $\alpha =1$, perché se questo verifica la disuguaglianza allora funziona anche per $\alpha =2$, in quanto ci dà un valore maggiore.
Accoppiamo $p^{-1}(p-1)^{\log _2 3}$ Notiamo facilmente che è maggiore o uguale a 1 per $p \ge 3$ , quindi si comporta similmente alla disuguaglianza che avevo dimostrato in precedenza (di nuovo il caso $p=2$ è compensato dal 2 nella fattorizzazione)

Da questo arriviamo a $f(x) \le 2(x-1)^{\log _2 3}$ e finalmente $c= \log _2 3$ :)
è il valore minore possibile perché ci dà l'uguaglianza per $f(3)=6$

Mi dispiace per chi si aspettava numeri più eleganti, ma se non ho fatto errori dovrebbe essere questo
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

Avatar utente
gpzes
Messaggi: 172
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Re: La funzionale che risolleverà il forum

Messaggio da gpzes » 26 mag 2015, 10:07

non saprei... :oops:

$f(n)=\left\{ \begin{align}
& 1\quad \ n=1 \\
& 1\quad \ n\,pari \\
& 2\quad n\ dispari,n\ne 1 \\
\end{align} \right.$

$f(\varphi (x))=\varphi (f(x))$ e $f\ne \text{costante}\,\text{=}\,1$, $f\ne id$ nonché $f(x+1)\le 2$.

Sembrerebbe che possa essere $c=0$…

Ad ogni modo se $f=id$ si avrebbe comunque $f(\varphi (x))=\varphi (f(x))$ e $x+1\le 2x$ da cui $c=1$.

mahh... :oops:

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4506
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Re: La funzionale che risolleverà il forum

Messaggio da EvaristeG » 26 mag 2015, 12:13

Credo che la domanda sia trovare una $c$ che rende vero il bound per ogni $f$...

Avatar utente
Troleito br00tal
Messaggi: 679
Iscritto il: 16 mag 2012, 22:25

Re: La funzionale che risolleverà il forum

Messaggio da Troleito br00tal » 02 giu 2015, 12:44

Ok ma
erFuricksen ha scritto:$\phi (f(x)) \le \phi (x) \le x-1$
perché?

erFuricksen
Messaggi: 158
Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
Località: Genova

Re: La funzionale che risolleverà il forum

Messaggio da erFuricksen » 02 giu 2015, 14:17

Ok, io mi ero dimostrato qual era l'insieme esatto delle immagini, sulla scia della dimostrazione di Talete, quindi ora propongo la mia in cui spiego e dimostro perché.

Chiamiamo $S_x$ l'insieme delle immagini di $x$, quindi $f(x) \in S_x$
perciò $f(\phi (x)) \in S_{\phi (x)}$ da cui $\phi (f(x))\in S_{\phi (x)}$
da questo possiamo definire $S_x$ per "ricorrenza" in questo modo:
$$S_x=\{y|\phi(y)\in S_{\phi(x)}\}$$
Vediamo che per $x=1,2$ vale che $$S_x=\bigcup_{i=1}^{k(x)} A_i$$
dove $$ A_i=\{y|\phi(y)=\phi^i(x)\}$$
Con $\phi^i(x)$ si intende $\phi$ composto $i$ volte e $k(x)$ è un'intero positivo tale che $\phi^k(x)=1$ e $\phi^{k-1}(x)\ne 1$
So quindi che l'uguaglianza vale per i primi $n-1$ valori, vediamo ora per $n$.
Sappiamo che gli elementi $z$ di $\bigcup_{i=1}^{k(n)} A_i$ sono tutti quelli tali per cui $\phi(z)=\phi^i(x)$ per $i$ da $1$ a $k(n)$; ma ovviamente $k(n)=k(\phi(n))+1$, perciò se io considero $\phi (z)$ questo appartiene a $\bigcup_{i=1}^{k(\phi(n))} A_i$, perché $\phi(\phi(z))=\phi^i(x)$ per $i$ da $1$ a $k(n)-1$.
Ma abbiamo verificato che $\bigcup_{i=1}^{k(\phi(n))} A_i$ è l'insieme di arrivo della funzione in $x=\phi(n)$,
quindi dalla definizione per ricorrenza $$S_x=\bigcup_{i=1}^{k(x)} A_i$$ per ogni x.
Dalla definizione vediamo facilmente che se $f(x) \in S_x$ allora $\phi(f(x)) = \phi^i(x) \le x-1$ per un qualunque $i$, che è quello che volevamo dire.

Pensavo e speravo fosse già dato per buono dal lemma di Talete, anche se lui trovava un insieme di appartenenza delle immagini e non l'insieme esatto.
Detto questo, spero non ci siano troppi errori.
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

Avatar utente
gpzes
Messaggi: 172
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Re: La funzionale che risolleverà il forum

Messaggio da gpzes » 06 giu 2015, 11:20

erFuricksen ha scritto:
Troleito br00tal ha scritto:Ok ma
erFuricksen ha scritto: $\phi (f(x)) \le \phi (x) \le x-1$
perché?
:oops: Forse sbaglio ma Il Lemma mi sembra falso e la dimostrazione poco chiara…
erFuricksen ha scritto: Chiamiamo Sx l'insieme delle immagini di x, quindi f(x)∈Sx


$f(n)=\left\{ \begin{align}
& 1\quad \ \ \ n=1 \\
& 2n\quad n\,pari \\
& 3n\quad n\ dispari,n\ne 1,MCD(n;3)=1 \\
& 4n\quad n\ dispari,n\ne 1,n={{3}^{k}}\cdot m,k\ge 1,MCD(m;3)=1 \\
\end{align} \right.$

$f(\varphi (x))=\varphi (f(x))=2\cdot \varphi (x)\ ,\forall x\ne 1.$

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Bing [Bot] e 4 ospiti