$\varphi(mn)=\varphi(gcd(m,n))\varphi(lcm(m,n)$

[jordan]

Sia $\varphi(n)$ il numero di interi $x \in [1,n]$ coprimi con $n$. Mostrare che, se $m,n$ sono interi allora
$$
\varphi(mn)=\varphi(\text{gcd}(m,n))\varphi(\text{lcm}(m,n)).
$$

[Edit: claim falso, vedi sotto]

[Drago96]

Mi sembra abbastanza falso: prendi come controesempio $(6,9)$.
In generale $\displaystyle\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac1 p\right)$, e quindi avremmo $$mn\prod_{p\mid mn}\left(1-\frac1 p\right)=\gcd(m,n)\prod_{p\mid \gcd(m,n)}\left(1-\frac1 p\right)\cdot\text{lcm}(m,n)\prod_{p\mid \text{lcm}(m,n)}\left(1-\frac1 p\right)$$
Ma per definizione $\text{lcm}(m,n)$ ha gli stessi fattori primi (con molteplicità diversa, ovvio) di $mn$; inoltre $mn=\gcd(m,n)\cdot\text{lcm}(m,n)$ e quindi rimaniamo con $\prod_{p\mid \gcd(m,n)}\left(1-\frac1 p\right)=1$ ovvero $\gcd(m,n)=1$

[jordan]

E mi pare hai ragione Mh, dov'è l'errore?

Let $n=\prod_{i=1}^\infty p_i^{\alpha_i}$ and $m=\prod_{i=1}^\infty p_i^{\beta_i}$ with $p_1<p_2<...$ representing all primes and $\alpha_i,\beta_i$ non-negative integers. Then
$$
\varphi(mn)=\varphi\left(\prod_{i=1}^\infty p_i^{\alpha_i+\beta_i}\right)=\prod_{i: \alpha_i+\beta_i>0}p_i^{\alpha_i+\beta_i-1}(p_i-1).
$$
Notice that it can be rewritten as
$$
\prod_{i: \max\{\alpha_i,\beta_i\}>0}p_i^{\alpha_i+\beta_i-1}(p_i-1).
$$
At the same time we have
$$
\varphi(\text{lcm}(m,n))=\varphi\left(\prod_{i=1}^\infty p_i^{\max\{\alpha_i,\beta_i\}}\right)=\prod_{i: \max\{\alpha_i,\beta_i\}>0}p_i^{\max\{\alpha_i,\beta_i\}-1}(p_i-1),
$$
and also
$$
\varphi(\text{gcd}(m,n))=\varphi\left(\prod_{i=1}^\infty p_i^{\min\{\alpha_i,\beta_i\}}\right)=\prod_{i: \min\{\alpha_i,\beta_i\}>0}p_i^{\min\{\alpha_i,\beta_i\}-1}(p_i-1).
$$

At this point, if $i$ such that $\max\{\alpha_i,\beta_i\}>0$ and $\min\{\alpha_i,\beta_i\}>0$ then the equality holds for the part concerning $p_i$. Therefore we have only to check the case
$$
\max\{\alpha_i,\beta_i\}>0 \text{ and }\min\{\alpha_i,\beta_i\}=0,
$$
which means wlog $\alpha_i=0$ and $\beta_i>0$. In such case the conclusion follows from the fact that we would have $\alpha_i+\beta_i-1= \max\{\alpha_i,\beta_i\}-1$.

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Edit: trovato, ci sarebbero due $(p_i-1)^2$ che si moltiplicano e ne vorremo soltanto uno, giusto

[jordan]

..si mostra quindi che, chiamando $\text{rad}(x)$ il radicale di $x$, allora
$$
\frac{\varphi(mn)}{\mathrm{rad}(\mathrm{gcd}(m,n))}=\frac{\varphi(\mathrm{gcd}(m,n))\varphi(\mathrm{lcm}(m,n))}{\varphi(\mathrm{rad}(\mathrm{gcd}(m,n)))}
$$

Edit: giusto

[Drago96]

Mi sa che devi ancora moltiplicare per il radicale a destra