Cesenatico 2012

[nuoveolimpiadi1999]

Determinare tutti gli interi positivi che sono uguali a 300 volte la somma delle loro cifre.

Fornire procedimento di risoluzione il più semplice e chiaro possibile grazie.

[luca95]

Allora, il numero cercato $ k $ dovrà terminare con due zeri ed essere divisibile per 3, ma se è divisibile per 3 anche la somma delle sue cifre lo è $ \Rightarrow 900\vert k $ ma nuovamente, se $ k $ è divisibile per 9 anche la somma delle sue cifre lo è quindi $ \Rightarrow 2700\vert k $.
Vediamo ora i multipli di 2700 di 4 cifre: 2700, 5400, 8100. Di questi solo il primo soddisfa le condizioni del problema.
Ora dimostriamo che nessun numero che abbia più di quattro cifre può soddisfarle: supponiamo il numero abbia $ n $ cifre, il numero termina con due zeri quindi la somma delle sue cifre vale al massimo $ (n-2)9 $ perciò la somma delle sue cifre moltiplicata per 300 vale al più $ 2700n-5400 $, numero che per per $ n>4 $ ha meno di n cifre, questo perché per $ n>4 $ vale la disuguaglianza $ 2700n-5400<10^{n-1} $ ovvero $ 27n-54<10^{n-3} $ infatti già per $ n=5 $ è vera e una funzione esponenziale cresce più velocemente di una polinomiale dunque da 5 in poi la disuguaglianza è vera sempre (più formalmente uno potrebbe dimostrarla per induzione).

Quindi l'unico intero positivo che soddisfa le condizioni del problema è 2700.

[polarized]

Questa è la mia soluzione

Sia $ m $ il nostro numero
Chiamo $ S_m $ la somma delle cifre di $ n $; devo trovare quindi $ n $ tali che $ n=300*S_m $
Si nota facilmente che $ 100|m $ e per comodità introduco una nuova variabile $ k $ tale che $ 100k=m $
Il problema si riconduce a trovare quei numeri $ k $ che siano il triplo della somma delle proprie cifre, per trovare n poi mi basterà moltiplicare per 100
Noto che $ 3S_k \le 9*3n $ per un numero di n cifre (l'uguaglianza si ha con tutti 9)
Dimostro per induzione che se $ 10^n \le k < 10^{n+1} $ $ \Rightarrow 27(n+1)<10^n $ $ \forall n \ge 2 $: (in pratica che se k ha più di due cifra sarà sempre maggiore del triplo della somma delle sue cifre

Base dell'induzione:
$ n=2 \Rightarrow10^2 \le k < 10^3 $, però $ 3S_k \le 27*3=81 $ che però è minore di 100, quindi non ci possono essere soluzioni

Passo induttivo:
Se $ 10^n \le k < 10^{n+1} $ $ \Rightarrow 3*S_k \le 27(n+1)<10^n \le k $ (cioè non ci sono valori accettabili di k) neanche per (ipotesi induttiva) $ 10^{n+1} \le k < 10^{n+2} $ ce ne sono
Dimostrazione ipotesi induttiva:
Sostituisco $ n+1 $ a $ n $ nella relazione iniziale; ottengo

$ 27*(n+2) ? 10^{n+1} $
$ 27(n+1)+27?10*10^n $
$ 27(n+1)+27?10^n +9*10^n $
Si ha che LHS è minore di RHS quando $ 27 \le 9*10^n $ che è banalmente vero per ogni $ n \ge 2 $.
Possiamo quindi affermare che per $ k \ge 10^2 $ non vi sono risultati in quanto k sarà sempre maggiore del triplo della somma delle sue cifre.

Ragiono adesso su k; so che $ k=3S_k $ quindi $ 3|k $ ma se k è multiplo di tre anche la somma delle sue cifre lo sarà, quindi $ k=3*S_k \equiv 0 \pmod {9} $
Adesso so che $ 9|k $ allo stesso modo riesco a dimostrare che $ 27|k $.
I nostri numeri da provare sono quindi 27,54,81. L'unico di questi che funziona è $ 27 $ quindi si avrà che $ m=100k=100*27=2700 $ che è inoltre l'unica soluzione