Il campo di Luca Maria

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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nic.h.97
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Il campo di Luca Maria

Messaggio da nic.h.97 » 20 apr 2015, 17:25

Non riesco a risolverlo!!
Ho provato di tutto!!

Il problema si traduce :
$ 2x^2+1=y^2 $
Con scomposizioni e usando MCD , osservazioni sulla parità , la conclusione a cui sono arrivato è trovare se
$ \tfrac{m^2}{2} + 1 $ o $ \tfrac{m^2}{2} -1 $
uno tra loro 2 è un quadrato . (dove m è o $ y-1 $ o $ y+1 $)
Ho provato a fare sostituzioni utili , ma mi torna sempre lo stesso problema $ 2a^2+1=b^2 $ per altri a e b

Poi mi è venuto in mente che Gobbino descriveva la risoluzione di un'equazione diofantea di 2^ grado in 2 variabili , partendo da una soluzione . (Ma le soluzioni che mi fornisce sono razionali e non solo interi)
le 2 soluzioni più piccole visibili ad occhio sono (x,y)=(0,1) , (2,3)
Ho provato a seguire il metodo risolutivo da lui applicato , al variare del coefficiente angolare che passa per quel punto risolutivo .
Nel primo caso mi esce y sempre uguale a -1 per qualsiasi coefficiente angolare
Nel secondo invece mi esce qualcosa di poco utile.


Qualche piccolissimissimo hint?
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Talete
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Re: Il campo di Luca Maria

Messaggio da Talete » 20 apr 2015, 17:45

Mi sembra un'equazione di Pell ($y^2-2x^2=1$). In teoria le soluzioni sono quelle che per qualche $n\in\mathbb{N}$ si possono scrivere come

\[(x;y)=\left(\frac{(3+2\sqrt2)^n-(3-2\sqrt2)^n}{2\sqrt2};\frac{(3+2\sqrt2)^n+(3-2\sqrt2)^n}{2}\right)\]

se non ho sbagliato qualcosa ;) Allora tu devi trovare il massimo $n$ per cui vale $2x+y<1999$ e poi calcolare $2x+y+1$.

EDIT: vabbè tu volevi un piccolissimo hint e ti ho tirato fuori la Pell... scusami
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nic.h.97
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Re: Il campo di Luca Maria

Messaggio da nic.h.97 » 20 apr 2015, 18:39

Hmmm... per n=4 si ha già la soluzione.
Non la conoscevo l'equazione di Pell . Mi chiedevo però se c'è qualche videolezione che illustra i suoi utilizzi , magari un video del Senior .
Ho cercato su internet e ho trovato qualcosa , ma usa cose a me ignote ( lo sviluppo in frazione continua di $ \sqrt{d} $ , la determinazione delle convergenti... ) , che forse potrei capire meglio in un video...
Ne approfitto per approfondire la mia base teorica , al momento scarsuccia ... Un hint molto utile :D

Talete
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Re: Il campo di Luca Maria

Messaggio da Talete » 20 apr 2015, 18:43

nic.h.97 ha scritto:Hmmm... per n=4 si ha già la soluzione.
Non la conoscevo l'equazione di Pell . Mi chiedevo però se c'è qualche videolezione che illustra i suoi utilizzi , magari un video del Senior .
Ho cercato su internet e ho trovato qualcosa , ma usa cose a me ignote ( lo sviluppo in frazione continua di $ \sqrt{d} $ , la determinazione delle convergenti... ) , che forse potrei capire meglio in un video...
Ne approfitto per approfondire la mia base teorica , al momento scarsuccia ... Un hint molto utile :D
Neppure io ne avevo mai sentito parlare prima di vedere il video di darkcrystal al senior medium N2 del 2014. Io credo che siano spiegate molto bene, e la teoria di base da sapere è poca ;)
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