[tex]\sim[/tex] febbraio

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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nic.h.97
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[tex]\sim[/tex] febbraio

Messaggio da nic.h.97 »

trova $ \sqrt{31*30*29*28+1} $

Ricorda molto il numerico di quest' anno :)
polarized
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Re: [tex]\sim[/tex] febbraio

Messaggio da polarized »

Dimostro prima che il prodotto di 4 numeri consecutivi aumentato di 1 è un quadrato perfetto.

Premessa: E' utile tenere a mente che $ (x^2+ax+b)^2 = x^4+2ax^3+x^2(a^2+2b)+2abx+b^2 $

adesso svolgo il prodotto di 4 numeri consecutivi aumentati di 1
$ 1+ x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x +1 $

Provo a controllare se può essere un quadrato di un trinomio (può venirmi il dubbio, legittimo, che sia un binomio alla quarta potenza, è sufficiente provare a svolgere $ (x+a)^4 $ e ci si accorge che non è questo il caso)

Affinchè sia un trinomio al quadrato si deve avere che $ b^2=1,2a=6 \Rightarrow b=1,a=3 $ che, controllando, funziona anche per gli altri coefficenti

Quindi so che $ 1+ x(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x+1)^2 $, in questo caso ho che $ x=28 $ quindi il risultato sarà $ 28^2+3*28+1=869 $
In geometria tutto con Pitagora, in Algebra tutto con Tartaglia
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Drago96
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Re: [tex]\sim[/tex] febbraio

Messaggio da Drago96 »

Senza fare troppi tentativi: $x(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x)(x^2+3x+2)=(x^2+3x+1)^2-1$ :)
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nic.h.97
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Re: [tex]\sim[/tex] febbraio

Messaggio da nic.h.97 »

Mah ... mi aspettavo passaggi più elementari altrimenti non l' avrei chiamato febbraio :lol: :lol:
La soluzione che propongo segue molto la risoluzione applicata all'es. di febbraio
Testo nascosto:
$ \sqrt{(30+1)30(30-1)(30-2)+1} $ = $ \sqrt{30^4-2*30^3-30^2+61} $
Poi in un altro febbraio ricordo che vidi che $ 961 = 31^2 $ che può essere utilizzato
$ \sqrt{30^4-2*30^3-30^2+961-30^2} = \sqrt{30^4-2*30*30^2-2*30^2+961} =\sqrt{30^4-62*30^2 + 31^2} $
Ovvero
$ \sqrt{(30^2-31)^2} $
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