Dimostrare che per $\forall n \in \mathbb{N}$ e $n>0$ vale che:
$$\Bigl \lfloor \sum_{k=1}^n \sqrt[k+1]{k+1 \over k} \Bigl \rfloor = n$$
Serie particolare
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Serie particolare
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Re: Serie particolare
.. che è equivalente a
$$
0<\left\{\left(1+\frac{1}{1}\right)^{1/2}\right\}+\cdots+\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/(n+1)}\right\}<1
$$
Siamo sicuri del testo?
$$
0<\left\{\left(1+\frac{1}{1}\right)^{1/2}\right\}+\cdots+\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/(n+1)}\right\}<1
$$
Siamo sicuri del testo?
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- Troleito br00tal
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Re: Serie particolare
Sì: vale $(1+\frac{1}{k^2+k})^{k+1}=1+\frac{k+1}{k^2+k}+... \ge 1+\frac{1}{k}$, quindi $1 \le (1+\frac{1}{k})^{\frac{1}{k+1}} \le 1+\frac{1}{k^2+k}$, perciò: $n \le \sum_{k=1}^n (1+\frac{1}{k})^{\frac{1}{k+1}} \le n+\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2+k}=n+1-\frac{1}{k+1} < n+1$, da cui la tesi.
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Re: Serie particolare
Sì, io ho usato la stessa disuguaglianza arrivandoci per Bernoulli con $\delta = {1 \over n(n+1)}$ e poi è la serie di Mengoli
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Re: Serie particolare
O concavità di $x^\alpha$ per $0<\alpha<1$ e $x\ge0$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)