Somma di $4$ potenze n-esime

[jordan]

Own. Siano $a,b,c,d$ interi positivi tali che $a^n+b^n+c^n+d^n$ è divisibile al massimo per $2015$ primi distinti per ogni intero positivo $n$. Mostrare che $a=b=c=d$.

[LucaMac]

Own. Siano $a,b,c,d$ interi positivi tali che $a^n+b^n+c^n+d^n$ è divisibile al massimo per $2015$ primi distinti. Mostrare che $a=b=c=d$.

chi è $n$ ?

[Drago96]

Immagino sia una cosa del tipo $S=\{a^n+b^n+c^n+d^n \ : \ n\in\mathbb N\}$; sappiamo che esiste un insieme $P$ di 2015 primi tale che ogni elemento di $S$ è prodotto solo di elementi di $P$ (anche con molteplicità). Allora $a=b=c=d$.

[jordan]

Veramente è un poco piu' generale: per ogni $n$, il numero $a^n+b^n+c^n+d^n$ ha nella sua fattorizzazione al massimo $2015$ primi distinti [in particolare, con la tua notazione di sopra, P puo' essere anche non finito]

[Drago96]

Ah, ok! Cioè $\omega(a^n+b^n+c^n+d^n)\le2015\ \forall n$

[jordan]

Esatto. Di collegato c'è un vecchio TST cinese del 2006, che chiedeva di mostrare che $\omega(2^n+k)$ è limitato se e solo se $k=0$..