Elisa ha trovato un numero intero (che ha chiamato “eleven”) che risulta uguale a 11 volte la somma delle sue cifre.
Chi è eleven?
Indicare metodo risolutivo, il più chiaro possibile grazie
intero positivo uguale a 11 volte la somma delle cifre
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Re: intero positivo uguale a 11 volte la somma delle cifre
Innanzitutto guardiamo quante cifre può avere questo numero.
Diciamo che il numero ha $ n $ cifre. Il massimo numero di $ n $ cifre ha tutte le cifre uguali a $ 9 $.
Quindi la somma delle cifre massima che questo numero di $ n $ cifre può avere è $ 9n $.
Sappiamo che $ 11 \cdot\ 9n = k $ dove $ k $ è il numero che stiamo cercando. Poiché $ k $ ha
$ n $ cifre, $ k > 10^{n-1} $.
Scriviamo dunque: $ 11 \cdot\ 9n > 10^{n-1} $ che è verificato per $ n < 4 $.
$ n=1, 2 $ non è accettabile. Perciò il nostro $ k $ ha tre cifre.
Allora possiamo dire che:
$ 100A + 10B + C = 11(A + B + C) $
$ 89A = B + 10C $ da ciò si ricava facilmente (poiché 89 è primo) che $ A=1 , B=9 , C=8 $ è l'unica soluzione.
$ k=198 $
Diciamo che il numero ha $ n $ cifre. Il massimo numero di $ n $ cifre ha tutte le cifre uguali a $ 9 $.
Quindi la somma delle cifre massima che questo numero di $ n $ cifre può avere è $ 9n $.
Sappiamo che $ 11 \cdot\ 9n = k $ dove $ k $ è il numero che stiamo cercando. Poiché $ k $ ha
$ n $ cifre, $ k > 10^{n-1} $.
Scriviamo dunque: $ 11 \cdot\ 9n > 10^{n-1} $ che è verificato per $ n < 4 $.
$ n=1, 2 $ non è accettabile. Perciò il nostro $ k $ ha tre cifre.
Allora possiamo dire che:
$ 100A + 10B + C = 11(A + B + C) $
$ 89A = B + 10C $ da ciò si ricava facilmente (poiché 89 è primo) che $ A=1 , B=9 , C=8 $ è l'unica soluzione.
$ k=198 $
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Re: intero positivo uguale a 11 volte la somma delle cifre
Ho capito quasi tutta la tua risoluzione tranne come è che deduci esattamente che poichè k ha "n" cifre allora k>10^n-1
Potresti spiegarmelo con parole semplici ed essendo il più chiaro possibile? Grazie
Potresti spiegarmelo con parole semplici ed essendo il più chiaro possibile? Grazie
Re: intero positivo uguale a 11 volte la somma delle cifre
Boh, provo a spiegartelo io (non voglio togliere il lavoro agli altri, ma ero di passaggio...)
Se tu consideri il fatto che $k$ ha $n$ cifre in base $10$, quali sono i valori che può assumere $k$? Be', al minimo è $10...00$, con $n-1$ zeri, perciò $k$ è al minimo $10^{n-1}$. Se $k$ fosse minore di $10^{n-1}$, sarebbe al massimo $99...99$ (con $n-1$ cifre $9$ di fila), ma non avrebbe $n$ cifre bensì $n-1$. Tutto chiaro?
Se tu consideri il fatto che $k$ ha $n$ cifre in base $10$, quali sono i valori che può assumere $k$? Be', al minimo è $10...00$, con $n-1$ zeri, perciò $k$ è al minimo $10^{n-1}$. Se $k$ fosse minore di $10^{n-1}$, sarebbe al massimo $99...99$ (con $n-1$ cifre $9$ di fila), ma non avrebbe $n$ cifre bensì $n-1$. Tutto chiaro?
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"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: intero positivo uguale a 11 volte la somma delle cifre
Grazie Talete ora ho capito ancora un po' di più ma non in maniera perfetta. Se perfavore PIELEO13 puoi spiegarmelo anche tu così capisco ancora meglio grazie!
Re: intero positivo uguale a 11 volte la somma delle cifre
Non è difficile: $10^k$ ha esattamente $k+1$ cifre, mentre $10^k-1$ ne ha $k$. In questo modo, se sai che un numero $n$ ha $k$ cifre, allora $10^{k-1}\leq n < 10^k$. Tutto chiaro?
Ultima modifica di matpro98 il 13 apr 2015, 07:03, modificato 1 volta in totale.
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Re: intero positivo uguale a 11 volte la somma delle cifre
Perfetto, ora si che ho capito alla perfezione sei stato chiarissimo. Grazie matpro98 e grazie a tutti gli altri!