virgola , Bocconi

[nic.h.97]

Trovare la 2007 , 2008 , 2009 esima cifra dopo la virgola di $ \tfrac{1}{2008} $ senza calcolatrice

Accenno : 2008=8*251 e 251 è primo

L'ho risolto , ma volevo vedere se c'erano altre soluzioni oltre a quella lunga che ho trovato

[nic.h.97]

Questa è la mia soluzione . Poi magari postate anche la vostra se è diversa.

Generalizzazione

Testo nascosto:

Step 1
Cerchiamo di capire come determinare una $ n $-esima cifra dopo la virgola.
Proviamo a fare dei casi piccoli a mano ( ad esempio 1/8 ho fatto ) con il normale algoritmo della divisione . Arriviamo così alla generalizzazione.

Regola
L' $ n $-esima cifra dopo la virgola , di una frazione $ \tfrac{1}{m} $ si trova nel seguente modo :
Si trova $ a $ , da $ 10^{n-1}\equiv a \pmod{m} $
Dopodiché , L' $ n $-esima cifra dopo la virgola , che chiameremo $ x $ è il risultato di $ 10a (div m) $ . (l'operatore $ div $ è quante volte al massimo $ m $ sta in $ 10a $)

Singoli casi

Testo nascosto:

Troviamo la $ 2007 $esima cifra dopo la virgola. $ n=2007 $ . Usiamo la regola di prima.
dobbiamo trovare $ a $ . $ 10^{2006} \equiv a \pmod{2008} $ senza calcolatrice.
Osserviamo , per Fermat che $ 10^{250} \equiv 1 \pmod{251} $ (251 è primo)
Da cui $ (10^{250})^8=10^{2000} \equiv 1^8 \equiv 1 \pmod{251} $

Ora , $ ab \equiv ac \pmod{ad} \Longleftrightarrow b \equiv c \pmod{d} $
Dunque , $ 10^{2000} \equiv 1 \pmod{251} \iff 8*10^{2000} \equiv 8 \pmod{2008} $
Dunque $ 10^{2006}=10^{2000}*8*8*5^6 \equiv 8*8*5^6 \equiv 16 \pmod{2008} $ (Un calcolo che si può fare a mano).

Quindi abbiamo trovato $ a=16 $ . La $ 2007 $ esima cifra è dunque il risultato di $ 10a (div 2008) = 160 (div 2008) = 0 $

Per la 2008 e 2009 si procede allo stesso modo

[matpro98]

Il tuo div m sarebbe $\left \lfloor \frac{10a}{m} \right \rfloor$ quindi, giusto?

[nic.h.97]

Il tuo div m sarebbe $\left \lfloor \frac{10a}{m} \right \rfloor$ quindi, giusto?

Sì , proprio quello. E' un operatore (come il (mod) ), ma che nessuno conosce apparte i programmatori.
Ti restituisce non il resto , ma il quoziente .

La regola sembra complessa , ma se uno applica l'algoritmo della divisione che si impara alle elementari vede chiaro perché è così.