equazione

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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amedeo__

equazione

Messaggio da amedeo__ » 26 mar 2015, 22:57

Trovare tutte le terne $(a,b,c)$ con $a,b,c$ naturali non nulli tali che
$2(a-1)(b-1)(c-1)=abc$

Toadino2
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Re: equazione

Messaggio da Toadino2 » 27 mar 2015, 18:48

Posso tentare? :D
Testo nascosto:
Scrivere che un certo polinomio è divisibile sia per $a-1$, sia per $b-1$ e sia per $c-1$ equivale a dire che se sostituiamo a questi tre numeri $1$, il polinomio diventa uguale a 0.
Ma dato che il numero dato è una moltiplicazione, si deve per forza avere che un numero è uguale a zero, il che va contro l'ipotesi. Dunque un siffatto polinomio non può esistere.

Dunque non ci sono soluzioni? :roll:

matpro98
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Re: equazione

Messaggio da matpro98 » 27 mar 2015, 19:57

In realtà ci sono

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jordan
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Re: equazione

Messaggio da jordan » 28 mar 2015, 00:17

Ma riscriviamola cosi, è piu' bella
$$
\left(1+\frac{1}{a-1}\right)\left(1+\frac{1}{b-1}\right)\left(1+\frac{1}{c-1}\right)=2
$$
:wink:
The only goal of science is the honor of the human spirit.

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simone256
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Re: equazione

Messaggio da simone256 » 29 mar 2015, 19:10

Forse il problema bocconi più "olimpico" della L2 quest'anno! :)
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

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gpzes
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Re: equazione

Messaggio da gpzes » 30 mar 2015, 10:39

@jordan :idea: :wink: ...anche WLOG ..$a\le{b}\le{c}$ ..e $MCD(a,b,c)=1$.. :oops:

nic.h.97
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Re: equazione

Messaggio da nic.h.97 » 10 apr 2015, 18:57

jordan ha scritto:Ma riscriviamola cosi, è piu' bella
$$
\left(1+\frac{1}{a-1}\right)\left(1+\frac{1}{b-1}\right)\left(1+\frac{1}{c-1}\right)=2
$$
:wink:

$ a\ge b\ge c \implies (1+\tfrac{1}{c-1})\ge (1+\tfrac{1}{b-1}) \ge (1+\tfrac{1}{a-1}) \implies (1+\tfrac{1}{c-1})^3\ge (1+\tfrac{1}{c-1})(1+\tfrac{1}{b-1})(1+\tfrac{1}{a-1})=2 $
Per $ c\ge 5 $ la disuguaglianza non è verificata.
C.E. $ a,b,c \ne 0 , 1 $.
Dunque si prova con $ c=\left \{ 2,3,4 \right \} $.
-$ c=2 $ porta a $ b+a=1 $ assurdo per C.E.
-per $ c=3 $ , dall'equazione di partenza $ (a-1)(b-1)(c-1)=2abc $ , si ricava $ b(c-4)=4c-4 \implies c-4|12 $
Da cui $ c=\left \{ 5,6,7,8,10,16 \right \} $ . Si verificano i casi a mano che portano a $ b $ intero
E si riprocede allo stesso modo per $ c=4 $.
Un bel po' lungo questo Bocconi ...

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