Problema Febbraio 2000

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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polarized
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Problema Febbraio 2000

Messaggio da polarized »

$ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{mn} = \frac{2}{5} $

A prima vista sembra davvero banale, però a quanto pare per me non lo è.
A quanto sono riuscito a capire questi problemi si risolvono solitamente in due modi, almeno per quanto riguarda i problemi di febbraio, correggetemi se sbaglio: o si riesce a scomporre il polinomio in fattori in modo analizzare diversi casi, o si procede per qualche maggiorazione.
Qualcuno può spiegarmi la logica che sta dietro alle maggiorazioni fatti in questo determinato tipo di problemi? non riesco a capirci nulla :?:
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karlosson_sul_tetto
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da karlosson_sul_tetto »

A dire il vero non ho capito come si potrebbero applicare le idee dette da te, quindi scrivo come l'ho risolto io.
Testo nascosto:
Moltiplico tutto per $mn$, ottengo $m+n+1=\frac{2}{5}mn$. Siccome $m,n$ sono interi, il membro di sinistra è intero e dev'essere intero anche quello di destra; siccome c'è un 5 al denominatore, almeno uno tra m e n dev'essere divisibile per 5 (se detta cosi puzza basta moltiplicare tutto per 5 e poi guardare modulo 5). Per simmetria, senza perdita di generalità posso supporre che $5|m$, ovvero $m=5k$. La relazione diventa $5k+n+1=10kn$.
Ora qua c'è una tecnica utile in diofantee del genere senza quadrati, ovvero trovarsi una delle variabili. $5k+1=n(10k-1)\rightarrow n=\frac{5k+1}{10k-1}$.
Mi basta trovare tutti i $k$ tali che $\frac{5k+1}{10k-1}$ sia intero, ovvero $5k+1 \equiv 0 \mod{10k-1}$. Moltiplico per due ottenendo $10k+2 \equiv 0 \mod{10k-1}$ e da questa segue che $0 \equiv 10k+2-(10k-1)\equiv 3 \mod{10k-1}$. Quindi $10k-1|3$, ovvero può essere $1,-1,3,-3$. Analizzo i vari casi che mi portano all'unica soluzione $k=0$, che è inammissibile poiché si avrebbe $m=5k=0$ e $\frac{1}{m}$ non avrebbe molto senso; dunque non ci sono soluzioni.
Per essere precisini, il testo di quel febbraio è $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}-\frac{1}{mn}=\frac{2}{5}$, adesso che hai visto un problema risolto in modo simile sono sicuro che riuscirai a fare anche questo :wink:
"Inequality happens"
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matpro98
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da matpro98 »

@karlosson l'equazione diventa $5k+n+1=
2kn$ ;)
polarized
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da polarized »

Grazie per la risposta, la soluzione è stata piuttosto illuminante!
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darkcrystal
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da darkcrystal »

Già che ci sei, ti consiglio un altro approccio che si potrebbe provare (per esempio per l'equazione che hai messo tu nel primo post, ma la stessa cosa funziona con il testo originale di febbraio). Non è necessariamente migliore di quello di karlosson (anzi, onestamente è peggiore), però può essere istruttivo.
Cominciamo con $m,n$ entrambi positivi. Cosa succede se $m,n$ sono entrambi "grandi", diciamo entrambi maggiori o uguali a 6? Quanto può essere grande, al massimo, il membro di sinistra dell'equazione? Cosa ne deduci? D'altra parte, cosa succede se $m$ (oppure $n$) è piccolo, diciamo $m \leq 2$? Infine, cosa cambia se permetti ad $m,n$ di essere negativi? Possono essere entrambi negativi? E cosa succede se esattamente uno dei due è negativo? Infine, riesci a convertire questo interrogatorio in una soluzione completa :P?

Prova a fare qualche osservazione, e se ti serve aiuto chiedi pure!
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nic.h.97
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da nic.h.97 »

La prima cosa da tentare è la scomposizione.
$ \tfrac{m+n-1}{mn}=\tfrac{2}{5} $
$ 5m+5n-5=2mn $
$ 2mn-5m-5n+5=0 $
Ora è difficile da vedere immediatamente una scomposizione , ma puoi fare così
$ (m+a)(2n+b) $ prova a sostituire a e b in modo da ottenere $ -5m $ e $ -5n $ . Il termine noto non importa , poiché lo puoi aggiungere dopo ad ambo i membri dell'equazione .
Così facendo si ottiene $ a=-\tfrac{5}{2} $ e $ b=-5 $
Ma le frazioni non ci piacciono , quindi questa equazione $ 2mn-5m-5n+5=0 $ la moltiplichiamo tutta per $ 2 $. e abbiamo
$ 4mn-10m-10n+10=0 $ (*)
Ora dovremmo "distribuire" quel $ 4 $ ad $ m $ e $ n $. Intuitivamente darei subito $ 2 $ e $ 2 $ , perché si hanno delle "simmetrie"($ -10m-10n $) .
Dunque ora abbiamo $ (2m+a)(2n+b) $ e cerchiamo di sistemare $ a $ e $ b $ , ottenendo :
$ (2m-5)(2n-5)=4mn-10m-10n+25 $ Utilizziamo questo nella nostra equazione (*) e otteniamo :
$ (2m-5)(2n-5)=15 $

L'altro modo è quello delle disuguaglianze . Qua devi cercare di ottenere delle stime di intervalli . Prova quindi ad ottenere una disuguaglianza solo su un termine e quel che uscirà sarà $ > $ o $ < $. A questo punto prova a ragionare al contrario per ottenere un'altra disuguaglianza , ma col segno opposto .
Guarda la soluzione del problema : prima trova un m>qualcosa , poi gioca in modo inverso per ottenere m<qualcos'altro
E' utile anche in tanti altri problemi di TDN , giocare con le disuguaglianze .
Oppure ci sono tanti altri modi , ma questi sono i più "base" ( e tra i pochi che conosco io ) , con la quale puoi risolvere quasi tutti i TDN di febbraio Quindi : 1)scomporre , 2)giocare con le disuguaglianze. ..... Tra questi ci sono da aggiungere 3) Giocare sulla divisibilità 4) lavorare con le congruenze . In particolare molto utili modulo 4 e 3.
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Drago96
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da Drago96 »

Modo meccanico per scomporre... le incognite sono $x,y$ e abbiamo $$axy+bx+cy+d=0$$
Moltiplichiamo per $a$ e otteniamo $a^2xy+abx+acy+ad=0$, che guardandola meglio è $(ax)(ay)+b(ax)+c(ay)+ad=0$
Sommiamo ad entrambi i membri $bc$ e sopstiamo di là $ad$: $(ax)(ay)+b(ax)+c(ay)+bc=bc-ad$
E finiamo scomponendo $(ax+c)(ay+b)=bc-ad$
Ora i fattori devono essere divisori del coso a destra e hai pochi casi da fare a mano... ;)
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polarized
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da polarized »

Queste domande mi consigli di pormele guardando l'equazione iniziale o quella "semplificata"?

Io comunque, ragionando su $ m + n + 1 = \frac{2}{5} mn $, ho provato a pormi le tue domande:

-Cosa succede se $ m,n \ge \ 6 $ ?
Se sia m che n sono maggiori di 6 posso dire con certezza (?) che non avrò soluzioni perchè il membro di destra diventerebbe troppo grande rispetto a quello di sinistra ( non ho usato sicuramente le parole giuste, spero si sia capito)
-Quanto grande può essere al massimo il membro di sinistra?Cosa ne deduci?
Al massimo posso avere 12 ( $ m=6 , n=5 $ che tra l'altro dovrebbe essere una soluzione no?) perchè così avrò 12 anche a destra, per valori maggiori l'equazione non si verifica
La conclusione è che mi aspetto di avere delle soluzioni con m non maggiore di 6 e n non maggiore di 5 (sbaglio?)
-Cosa succede se m (oppure n) è piccolo, diciamo m≤2?
Se m è piccolo mi viene da pensare che anche n diminuisca, però non ne sono del tutto sicuro
- E cosa succede se esattamente uno dei due è negativo?
Non possono essere entrambi negativi (mi sembra), e se uno è negativo non so cosa dire, non riesco a trarre nessuna conclusione, forse che n resta piccolo? non saprei
- Riesci a convertire questo interrogatorio in una soluzione completa :P?
Magari :lol: purtroppo la mia familiarità con questo tipo di problemi essendomi affacciato da poco all'ambito olimpico è davvero poca, in quanto sono esercizi che mai si affrontano a livello scolastico!

Grazie a tutti comunque, siete stati molto disponibili e grazie ancora in anticipo a chi continuerà a rispondere!


@ nic.h.97 Mi è piaciuta molta la soluzione che hai proposto, che tra l'altro se non sbaglio è una delle due che da il testo olimpico, solo che ovviamente non spiegandola è risultata arabo ai miei occhi, grazie ancora! grazie anche a @drago96, lo spunto sembra ottimo, adesso vedo di comprendere del tutto entrambi!
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darkcrystal
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da darkcrystal »

polarized ha scritto:Queste domande mi consigli di pormele guardando l'equazione iniziale o quella "semplificata"?
Pensavo a quella originale, che mi sembra più comoda per il tipo di disuguaglianze che ho in mente.
Io comunque, ragionando su $ m + n + 1 = \frac{2}{5} mn $, ho provato a pormi le tue domande:

-Cosa succede se $ m,n \ge \ 6 $ ?
Se sia m che n sono maggiori di 6 posso dire con certezza (?) che non avrò soluzioni perchè il membro di destra diventerebbe troppo grande rispetto a quello di sinistra ( non ho usato sicuramente le parole giuste, spero si sia capito)
Perfetto! Questo fatto si vede bene con l'equazione originale: se $m,n$ sono entrambi almeno uguali a 6, allora (nota che più $m,n$ sono grandi più gli inversi sono piccoli)
\[
1/m + 1/n + 1/(mn) \leq 1/6+1/6+1/36 =13/36 < 2/5,
\]
quindi il membro di sinistra è troppo piccolo. Era quello che intendevo con la domanda "Quanto grande può essere al massimo il membro di sinistra?". Morale, non ci sono soluzioni con $m,n$ entrambi "grandi"
La conclusione è che mi aspetto di avere delle soluzioni con m non maggiore di 6 e n non maggiore di 5 (sbaglio?)
Quello che hai dimostrato è che $m,n$ non possono essere entrambi maggiori o uguali a 6. La negazione di questa frase è almeno uno tra $m,n$ è al più uguale a 5, o equivalentemente $ \min\{m,n\} \leq 5 $. Ancora in altre parole, se ho una soluzione con $m,n$ entrambi positivi, allora il più piccolo dei due non supera 5. Invece non puoi dedurre niente sulla coppia, uno dei due può anche essere molto più grande di 6: per esempio, c'è la soluzione (3,20). Oltretutto, attento che il ruolo di $m,n$ è simmetrico, quindi come minimo avresti dovuto scrivere m non maggiore di 6 e n non maggiore di 5, oppure n non maggiore di 6 e m non maggiore di 5.
-Cosa succede se m (oppure n) è piccolo, diciamo m≤2?
Se m è piccolo mi viene da pensare che anche n diminuisca, però non ne sono del tutto sicuro
Sempre sull'equazione iniziale: se $m \leq 2$, allora $1/m \geq 1/2 > 2/5$, quindi a maggior ragione $1/m + 1/n + 1/mn > 2/5$, e quindi non ci sono soluzioni. In altre parole, $ \min\{m,n\} \geq 3 $. Mettendo insieme questa disuguaglianza e quella sopra, abbiamo scoperto che il minimo tra $m,n$ è 3, 4, o 5, che non è un'informazione da poco!
- E cosa succede se esattamente uno dei due è negativo?
Non possono essere entrambi negativi (mi sembra), e se uno è negativo non so cosa dire, non riesco a trarre nessuna conclusione, forse che n resta piccolo? non saprei
E' vero che non possono essere entrambi negativi (dimostrazione, sempre sull'equazione originaria: se sono entrambi negativi, l'unico termine positivo presente a sinistra è $1/mn$. Ma d'altro canto $1/n + 1/mn = 1/n \left( 1+\frac{1}{m} \right) \leq 0$ (perché?), e quindi $1/m+1/n+1/mn$ è strettamente negativo, assurdo). Se invece (diciamo) $m$ è positivo e $n$ è negativo, dei tre termini che stanno a sinistra uno solo è positivo ($1/m$) e gli altri due sono negativi. Ma allora puoi scrivere
\[
\frac{1}{m} = 2/5 - \frac{1}{n} - \frac{1}{mn} > 2/5
\]
e quindi $\displaystyle \frac{1}{m} > \frac{2}{5}$, ovvero $m < \frac{5}{2}=2.5$, e quindi $m=1$ oppure $m=2$. Detto meglio: se esattamente uno tra $m,n$ è positivo, allora quello positivo dei due è uguale a 1 oppure a 2.

Ok, ora dovrebbe essere finita, no? Abbiamo mostrato che c'è un numero piccolo di casi da considerare...
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da Ratman98 »

Sono stupefatto :P . Io mi ero fermato al tipo di procedimento di karlosson, ma anche gli altri sono molto utili, soprattutto in altri contesti. Drago96, il 'meccanismo' che hai proposto è comune? Perché credo non ci avrei mai pensato in gara(e fuori :D ).
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gpzes
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da gpzes »

:oops: :oops: ..bellissimi post e illustrazioni tecniche :D :D .
Aggiungo solo una cosina che Drago ha già sviluppato benissimo :?
In effetti si parte da identità (a-1)(b-1)=ab-a-b+1 che si può ricordare e si generalizza :oops:
..avrei anche fatto 2n=1+3/(10k-1)...seguendo karlosson :wink: :oops:
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da Ratman98 »

Non riesco a capire come si faccia a generalizzare l'identità (a-1)×(b-1)=ab-a-b+1 per ottenere quella proposta da drago96 :oops: .
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da gpzes »

@Ratman :oops: :oops: ..mi scuso per non aver esplicitato troppo..volevo solo dire che si si possono analizzare i prodotti del tipo
(ax+b)(cy+d) e sistemare i coefficienti a,b,c,d per principio identità polinomi..
la forma (x-1)(y-1)=xy-x-y+1 era solo per, forse, ricordare meglio. :oops:
..direi anche che la semplice disuguaglianza a+b<=ab+1 per a,b =>1 è spesso utile.. :oops:
enrico_s
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Re: Problema Febbraio 2000

Messaggio da enrico_s »

un altro modo di risolvere il problema potrebbe essere il seguente, anche se in realtà le idee di base sono quelle già espresse nelle altre risposte.
$ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn}=\frac{2}{5} $

$ 5m+5n-5=2mn $

$ m=\frac{5n-5}{2n-5} $

$ 2m=5+\frac{15}{2n-5} $

quindi $ 2n-5 $ deve dividere 15 e i casi non sono tanti
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