Cesenatico 2006 Semifinale

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Gi8
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Iscritto il: 17 ago 2012, 12:04

Messaggio da Gi8 » 30 gen 2015, 11:11

se $(a,b)$ è soluzione anche $(b,a)$ la è.
Dato che $34^2=1156>1105$, si ha $1 \leq a,b \leq 33$.

Inoltre non può essere $a=b$ perchè si avrebbe $2a^2= 1105$.
Supponiamo allora $b<a$. Si ha pertanto $2b^2 <a^2+b^2=1105$, da cui $b^2<\frac{1105}{2}=552.5 \implies b\leq 23$.

Pertanto abbiamo le seguenti restrizioni: $1\leq b\leq 23$ ,$24\leq a\leq 33$.

Dato che $1105$ è libero da quadrati ($1105=5\cdot 13\cdot 17$),
$a$ deve essere coprimo con $1105$ (e anche $b$). Quindi $a \in \{24,27,28,29,31,32,33\}$.
Di questi sette casi, andando a sostituire, ne vanno bene quattro: $24,31,32,33$.
Rispettivamente $b$ sarà uguale a $23,12,9,4$.

Quindi la soluzione del problema è la somma di questi otto valori: $33+32+24+23+12+9+4=168$

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