Un torneo impegnativo (Finale Cesenatico 2012)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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karlosson_sul_tetto
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Re: Un torneo impegnativo (Finale Cesenatico 2012)

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 11 gen 2015, 09:41

C'è qualcosa che non quadra...
Sia $x$ il numero di allievi di Muten, compreso Goku; gli allievi dell'eremita saranno quindi $x+9$. Il numero totale di scontri è $x(x+9)=v+s$, dove v ed s sono le sconfitte di Muten; siccome le vittorie dell'eremita sono 9 volte quelle di Muten, si ha $s=9v$ e $x(x+9)=10v$.
Ora, le possibili soluzioni intere per x sono quelle per cui $x\equiv 0,1,5,6 \mod{10}$; la soluzione più piccola è con $x=1$ (ovvero c'è solo gonioku) che vince un combattimento e ne perde 9. Invece con le condizioni di sopra posso prendere $x$ sempre più grandi, e siccome dal prodotto $x>10 \leftarrow x+9<v$, allora il numero totale delle vittorie degli allievi di muten è più basso del numero di sfidanti, quindi Goku può vincerle tutte, ma non c 'è un massimo
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hermes97
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Re: Un torneo impegnativo (Finale Cesenatico 2012)

Messaggio da hermes97 » 11 gen 2015, 12:32

Credo che negli accoppiamenti del torneo siano inclusi anche i combattimenti tra membri della stessa squadra. In tal modo si ottiene il range di valori accettabili.
Siano $n$ i combattenti di Muten e $ n+9$ i combattenti di Gru. Il numero di scontri diventa$ (n+4)(2n+9)=2n^2+17n+36$ e per ipotesi sappiamo che un decimo di questi è stato vinto dagli allievi di Muten. Però ci sono anche stati $(n-1)n/2$ incontri tra gli allievi di Muten, che quindi hanno vinto almeno lo stesso numero di incontri. Si ponga quindi $(2n^2+17n+36)/10\geq (n^2-n)/2$;
$3n^2-22n-36 \leq 0; 1\leq n\leq 8$
Inoltre, pongo la condizione $10|(n+4)(2n+9)$. Notato che il secondo termine è sempre dispari, si hanno solo due casi:
$10|n+4$; $n=6$
$2|n+4, 5|2n+9$; $n=8$
Nei due casi le vittorie degli allievi di Muten sono rispettivamente 21 e 30. Per ottenere il massimo numero di vittorie di Goku (sì, il nome storpiato è orribile) devo minimizzare le vittorie dei suoi compagni, quindi suppongo che gli altri $n-1$ allievi perdano sempre contro i guerrieri di Gru. Seguendo lo stesso ragionamento di prima, essi hanno combattuto tra loro$ (n-1)(n-2)/2 $ volte, quindi il numero di vittorie totalizzate dai compagni di goku è questo. Sottraendolo alle vittorie totali della squadra si ha:
$n=6$; $G=21-10=11$
$n=8$; $G=30-21=9$

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