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da Draco76 » 16 nov 2014, 16:01
Provo a risolverlo con la tua interpretazione (che comunque ritengo profondamente errata e basata su un'analisi alquanto letterata del problema):
Ci serve trovare le due coppie di numeri interi positivi che soddisfano le relazioni menzionate sopra. Siccome nel problema non sono state definite le unità di misura di lunghezza dei lati dei due rettangoli, e $(a,b;c,d)$ sono stati considerati numeri, è lecito presupporre che le lunghezze dei lati dei rettangoli siano misurate in numeri. L'area di un rettangolo, sarà $\text{numero}\times\text{numero}=\text{numero}^2$, ovvero i rettangoli hanno come area un quadrato perfetto (siccome il numero, l'unità di misura con cui avevamo iniziato, era un intero positivo). Ora, è banale vedere che un rettangolo può essere un numero quadrato se e solo se è un quadrato (altrimenti si chiamerebbero numeri rettangolari), ma dato che in questo forum sono presenti persone che giustamente non si fidano di ciò che persone più anziane ed analiste scrivono, ecco una dimostrazione del fatto:
Presuppongo che valgano le relazioni e cerco di arrivare ad un assurdo; la condizione che vogliamo è $ab=2(c+d)$ e $cd=2(a+b)$, inoltre sappiamo stando a quanto scritto sopra $ab=n^2$ e $cd=m^2$. Presuppongo WLOG (Without Lost Of Game) che $a>b$ e $c>d$. Ora, applicando un'omotetia a entrambi i rettangoli di fattore $\frac{1}{k}$, (dove k è il Massimo Comun Di Visore di $a$ e $b$) questi rimpiccioliscono: il lato dimezza, cosi come l'unità di misura che diventa $\frac{\text{numero}}{k}$ e i lati diventano lunghi $\frac{a}{k}$, $\frac{b}{k}$, $\frac{c}{k}$, $\frac{d}{k}$ e questi sono certamente interi nella nostra unità di misura $\frac{\text{numero}}{k}$. Posto $\frac{a}{k}=a'$ e $\frac{b}{k}=b'$, i numeri $a'$ e $b'$ sono sicuramente primi tra di loro visto $k=\text{MCDV}(a,b)=\text{MCDV}(a'\cdot k,b'\cdot k)=k\cdot \text{MCDV}(a',b')$. Ripetendo il procedimento per tutte le altre possibili coppie di numeri tra i quattro dati, arriviamo ad una quaterna $(a'',b'',c'',d'')$ in cui tutti i numeri presi a coppie hanno $\text{MCDV}=1$. Ora considero una quaterna ridotta, $(a''-\text{min}(b'',d''),b'',c''-\text{min}(b'',d''),d'')$, che ha interi positivi siccome prima ho presupposto $a>b$ e $c>d$ e dividendo per i MCDV la disuguaglianza è rimasta, quindi $a''>b''\geq \text{min}(b'',d'')$ e $c''>d''\geq \text{min}(b'',d'')$. Per i rettangoli formati da questa quaterna, continuano a valere le relazioni tra perimetro e area , siccome sia dal perimetro che dall'area di entrambi ho tolto un pezzo uguale (numericamente pari a $\text{min}(b'',d'')$). Iterando questo procedimento, siccome i quattro numeri hanno MCDV uguale a 1, per l'algoritmo di divisione euclidea questi numeri giungeranno infine alla quaterna $(1,1,1,1)$, per la quale $1\cdot 1 \neq 2(1+1)$, assurdo.
Riprendendo il filo del discorso, eravamo giunti al fatto che i due rettangoli erano in realtà quadrati, ovvero $a=b$ e $c=d$, la qual cosa ci porta alle condizioni $a^2=4c$ e $c^2=4a$, sostituendo la seconda nella prima ottengo $a^2=4\sqrt{4a}=8\sqrt{a}$. I grafici di queste due funzioni, $a^2$ e $8\sqrt{a}$, si intersecano in due punti: (0,0) che non ci va bene in quanto $a$ dev'essere positivo, cerchiamo dunque l'altro punto. Siccome $a^2$ e $\sqrt{a}$ sono funzioni simmetriche rispetto alla bisettrice del primo quadrante, i loro punti in comune si trovano su di essa; le funzioni $a^2$ e $8\sqrt{a}$ sono simmetriche alla retta con coefficiente angolare 8 volte maggiore della bisettrice, e la soluzione si trova su questa retta. Ci basta risolvere $a^2=8a$, nella quale possiamo dividere tutto per $a$ essendo questi diversi da 0, ottenendo $a=8$. Trovo c: $8^2=4c\rightarrow c=16$, ma dalla seconda $c^2=4\cdot 8 \rightarrow c=\sqrt{32}$, che è un assurdo.
Dunque non esistono quaterne di questo tipo, neanche con la condizione aggiuntiva di matpro.
Knowledge is more important than imagination. For imagination is limited, whereas knowledge embraces the entire world, stimulating progress, bashing shortlist's problems. (Albert E.)
IMPORTANTE: firma anche tu la
petizione!
) conseguenze dal fatto che se d( c,d ) è diverso da 1, allora [d( c,d )]^2 | (a+b) e [d( a,b )]^2 | (b+c). Con la rozza notazione d( x,y ) intendo il massimo comun divisore tra x e y. Tutto per questo per chiedere un -piccolo- suggerimento. Se però il problema dovesse essere di una facilità sconvolgente vi prego di non rispondermi:in questi casi la soluzione è filia temporis.
. Per fortuna karlosson mi ha aperto gli occhi; peccato solo che io sia miope.
