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Own: sono dati $n\geq 2$ numeri interi $a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n$ tali che MCD$(a_i, a_j)=1$ per ogni $1\leq i<j\leq n$. Dimostrare che
$$
a_1^{a_2}a_2^{a_3}a_3^{a_4}\cdots a_{n-1}^{a_n}a_n^{a_1}\; |\;(a_1a_2a_3\cdots a_n)!
$$

A prima vista può sembrare ostico, ma la soluzione è semplice, e basta un po' di intuito per trovarla.

Per definizione di fattoriale abbiamo
$$
(a_1 \cdots a_n)! = \prod_{i=1}^{a_1 \cdots a_n}i
$$
Sperando di poter dare per scontato che fra i numeri da $ 1 $ a $ a_1 \cdots a_n $ ce ne sono esattamente $ a_2 \cdots a_n $ divisibili per $ a_1 $, possiamo affermare che fra i fattori della produttoria ce ne sono $ a_2 \cdots a_n $ multipli di $ a_1 $. Dunque $ a_1^{a_2 \cdots a_n}|(a_1 \cdots a_n)! $; siccome $ a_2 \cdots a_n \geq a_2 $, allora vale anche $ a_1^{a_2}|(a_1 \cdots a_n)! $.
Con un ragionamento del tutto analogo si dimostrano anche le condizioni di divisibilità cicliche rispetto a questa.
Siccome gli $ a_i $ sono coprimi a coppie, dalle condizioni di divisibilità del tipo $ a_i^{a_{i+1}}|(a_1 \cdots a_n)! $ si deduce che
$$
a_1^{a_2} \cdot a_2^{a_3} \cdots a_{n-1}^{a_n} \cdot a_n^{a_1}|(a_1 \cdots a_n)!
$$
che è la tesi.

Bonus: Se invece poniamo solo che MCD$(a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n)=1$, la tesi è ancora dimostrata? Ovviamente bisogna motivare la risposta.

Naah, non gredo. E se uno invece dicesse che per tutte le \(k\)-uple di \(a_i\) il \(MCD\) è 1? Per quali \(k\) continua ad essere vero? Il nostro \(k\) dipende solo da \(n\) o anche dalla \(n\)-upla di \(a_i\) scelta?

Gottinger95 ha scritto: [...] ma il problemaccio è che se uno pone \(a_1 = 1\), la condizione è praticamente inesistente, e non è difficile vedere che senza condizioni quella cosa è falsa.

Caso esemplificativo:

Consideriamo la coppia $(2, 4)$. Qui MCD$(2, 4)=2$ ed è facile constatare che
\[
2^44^2 \mbox{ non divide } 8!
\]
Se però ora consideriamo la terna $(1, 2, 4)$ osserviamo che
\[
2^44^11^2\;\;|\;8!
\]