Generalizzando Wilson - Parte 7

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Generalizzando Wilson - Parte 7

Messaggio da jordan » 07 set 2014, 21:40

Trovare il resto modulo ciascun primo $p\ge 11$ di
$$ \sum_{\substack{1\le a,b,c,d \le p-1 \\ a,b,c,d \text{ distinti}}}{a^5b^6c^8d^9}.$$


Parte 1 qui
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Parte 4 qui
Parte 5 qui
Parte 6 qui
Ultima modifica di jordan il 16 apr 2015, 17:03, modificato 1 volta in totale.
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Gottinger95
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Re: Generalizzando Wilson - Parte 7

Messaggio da Gottinger95 » 08 set 2014, 09:26

Mmm... ma se tipo dicessi che applico il lemma qui ( e stavolta si può applicare)
viewtopic.php?f=15&t=19011 con
\( \mathbb{K} = \mathbb{Z}_p\),
\( G= \mathbb{Z}^*_p\)
\( \displaystyle q(G) = \sum_{a,b,c,d \in G \mbox{ distinti} } a^5b^6c^8d^9 \) ?

Visto che \(\lambda(p) = \varphi(p) = p-1 \nmid 5+6+8+9 = 28\) per \(p \ge 11\) (perchè \(p=7\) è escluso? ), a parte il caso in cui \(p=29\), quella somma fa zero mod \(p\).
Se invece \(p=29\)... non lo so! :P
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

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jordan
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Re: Generalizzando Wilson - Parte 7

Messaggio da jordan » 08 set 2014, 19:13

Era quasi immediato infatti che solo $p=29$ era il problema :P
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Gottinger95
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Re: Generalizzando Wilson - Parte 7

Messaggio da Gottinger95 » 09 set 2014, 12:57

Mmm, a me pare di aver dimostrato che modulo 29 faccia 6, e questo programmino (che su tutti gli altri primi \(\ge 11\) da 0) pare confermarlo! :(
https://drive.google.com/file/d/0BzYQj6 ... sp=sharing
Questo è il sorgente, per chi (giustamente!) volesse verificare che io non abbia fatto =0 per ogni primo tranne =6 per 29 :P
https://drive.google.com/file/d/0BzYQj6 ... sp=sharing
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

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Re: Generalizzando Wilson - Parte 7

Messaggio da jordan » 10 set 2014, 14:35

[Work in progress]
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Re: Generalizzando Wilson - Parte 7

Messaggio da Gottinger95 » 10 set 2014, 16:36

Definizioni. Dati un gruppo \(G\) e una \(n\)-upla ordinata di numeri interi \(A = (a_1, \ldots, a_n)\), siano:

\(\displaystyle \mathcal{P}_n(G) = \{ (x_1, \ldots, x_n): x_i \in G, \ \ \forall i,j \ \ x_i \neq x_j \}\), dove si intende che \( (x_1, \ldots, x_n)\) è una \(n\)-upla ordinata;
\( \displaystyle \sigma_n(A, G) = \sum_{ X \in \mathcal{P}_n(G)} \prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i} \);
\( \displaystyle \mathcal{Z}_n(A, G) = \sigma_n(A, G \setminus \{1\}) \);
\( \displaystyle \odot_n(A,G) = \sum_{ \substack{ X \in \mathcal{P}_n(G) \\ 1 \in X } } \prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i} \);
\( \rho := |G| \);
Tesi. Vogliamo dimostrare che se \( \rho \mid a_1+ \ldots, a_n\) e \( n \le \rho \), allora
\[ \sigma_n(A,G) = \rho (-1)^{n-1} (n-1)! \]

Step 1. Vale:
\[ \sigma_n(A,G) = \mathcal{Z}_n(A,G) + \odot_n(A,G) \]
Infatti
\[\sigma_n(A, G) = \sum_{ X \in \mathcal{P}_n(G)} \prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i} = \sum_{ \substack{X \in \mathcal{P}_n(G) \\ 1 \in X} } \prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i} +\sum_{ \substack{X \in \mathcal{P}_n(G) \\ 1 \not \in X } } \prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i} = \odot_n(A,G) + \mathcal{Z}_n(A,G) \]

Step 2. Sia \(X= (x_1, \ldots, x_n) \) una \(n\)-upla ordinata di naturali tali che \( \rho > \sum_X x\). Allora
\[ \mathcal{Z}_n (X,G) = (-1)^{n} n! \]
Lo facciamo per induzione su \(n\). Abbiamo
\[ \mathcal{Z}_n (X,G) = \sigma_n(X,G) - \odot_n(X,G) \]
Per il lemma di cui alla parte \(5\) della generalizzazione di Wilson, per ogni \(1 \le n < \rho\) si ha \( \sigma_n(X,G) = 0\). Perciò, scegliendo in modo "ordinato" qual è l'elemento che vale 1 in \(\odot_n\) con una sommatoria (in \(j\) ), abbiamo (è un po' artificioso da scrivere, ma non ho trovato un modo migliore):
\[ \mathcal{Z}_n (X,G) = - \odot_n(X,G) = - \sum_{ \substack{ Y \in \mathcal{P}_n(G) \\ 1 \in Y } } \prod_{i=1}^{n} y_i^{x_i} = -\sum_{j=1}^n \sum_{Y \in \mathcal{P}_{n-1}(G \setminus \{1\} ) } \prod_{i=1}^{j-1} y_i^{x_i} \prod_{i=j}^{n-1} y_i^{x_{i+1} } =- \sum_{j=1}^n \mathcal{Z}_{n-1}(X \setminus x_j, G) \]
dove si intende che \( (x_1, \ldots, x_n) \setminus x_j = (x_1, \ldots, x_{j-1}, x_{j+1} , \ldots, x_n) \). Allora, per ipotesi induttiva, visto che anche \( X \ x_j\) rispetta le ipotesi, abbiamo
\[\mathcal{Z}_n (X,G) = -\sum_{j=1}^n \mathcal{Z}_{n-1} (X \setminus x_j, G) = (-1)^n \cdot n \cdot (n-1)! = (-1)^n n! \]
Verifichiamo anche il caso base \(n=1\) :
\[ Z_1( (x), G) = \sigma_1( (x), G) - \odot_1((x), G) = 0- 1^x= (-1)^1 1! \]

Step 3. Per \(n \le \rho\) e \(\rho \mid a_1 + \ldots+a_n\), vale
\[ \sigma_n(A, G) = \rho \mathcal{Z}_{n-1} ( A \setminus (a) , G) \]
per ogni elemento \(a \in A\).
Rimaneggiamo un po' \(\sigma_n\), ponendo WLOG \(a:=a_1\) e \(S= \sum a_i \). Notare che per ogni \(x \in G\) vale \( x^S = (x^{\rho})^k = 1\) per qualche \(k \in \mathbb{N}\):
\[ \sigma_n(A, G) = \sum_{ X \in \mathcal{P}_n(G)} \prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i} = \sum_{ X \in \mathcal{P}_n(G)} x_1^{- S} \prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i} = \sum_{ X \in \mathcal{P}_n(G)} \prod_{i=2}^{n} (x_i / x_1) ^{a_i} \]
Soffermiamoci un attimo su questo prodotto. Diciamo che due \(n\)-uple \( (x_1, \ldots, x_n) \) e \((y_1, \ldots, y_n)\) sono \(u\)-equivalenti se producono la stessa \(n-1\)-upla \( (x_2/x_1, \ldots, x_n/x_1) = (y_2/y_1, \ldots, y_n/y_1) \). Imponendo gli elementi ordinatamente uguali e ponendo \(\lambda = x_1/ y_1\), abbiamo \( (x_2, \ldots, x_n) = \lambda ( y_2, \ldots, y_n) \), al variare di \(\lambda \in G\). Perciò la classe di \(u\)-equivalenza di ogni \(n\)-upla è \(\rho\). Inoltre, notiamo che nelle \(n-1\)-uple prodotte in questo modo non compare mai l'1, per l'assunzione che gli \(x_i\) siano distinti.

Un po' di chiarezza. Le \(n-1\)-uple senza l'1 sono \( (\rho-1) \cdot (\rho-2) \cdot \ldots \cdot (\rho-n+1) \); le classi di \(u\)-equivalenza delle \(n\)-uple sono ( \(n\)-uple totali) / (cardinalità di una classe) = \( \rho \cdot \ldots \cdot (\rho -n+1) / \rho = (\rho-1) \cdot (\rho-2) \cdot \ldots \cdot (\rho-n+1) \). Le \(n\)-uple producono tante \(n-1\)-uple senza l'1 distinte quante sono le \(n-1\)-uple senza l'1; perciò effettivamente le \(n\)-uple producono tutte e sole le \(n-1\)-uple senza l'1, esattamente \(\rho\) volte. Possiamo dunque scrivere, dopo questo macello incomprensibile che ho scritto:
\[ \sigma_n(A, G) = \sum_{ X \in \mathcal{P}_n(G)} \prod_{i=2}^{n} (x_i / x_1) ^{a_i} = \rho \cdot \mathcal{Z}_{n-1} ( A \setminus (a), G) \]
che, insieme allo step 2, ci fa concludere che
\[\sigma_n(A, G) = \rho (-1)^{n-1} (n-1)! \]
Q.E.D

Remarks. Nel nostro caso, in cui \(n=4, |G| = |\mathbb{Z}_p^*| = p-1 \), dà \(S_4(5,6,8,9, \mathbb{Z}_{29}^*) = (29-1)(-1)^{4-1} (4-1)! \equiv 6 \pmod{29} \).
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Re: Generalizzando Wilson - Parte 7

Messaggio da jordan » 16 apr 2015, 16:56

Per chi fosse interessato, ecco come andò a finire :)
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