Generalizzando Wilson - parte 6

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Generalizzando Wilson - parte 6

Messaggio da jordan »

Own. Sia $p$ un numero primo dispari, e $a$ un intero positivo. Per ogni intero positivo $n$ definiamo $X_n$ l'insieme dei residui $n$-esimi modulo $p$ diversi da $0$ e $1$. Definiamo $$m=\frac{p-1}{\text{gcd}(n,p-1)}\left(1-\frac{\text{gcd}(a,n,p-1)}{\text{gcd}(a,p-1)}\right).$$

i) Mostrare che se $a$ è pari ed $n$ è dispari allora $m$ è un intero positivo minore o uguale al numero di elementi di $X_n$.

ii) Mostrare che se $a$ è pari ed $n$ è dispari allora la somma di tutti i possibili prodotti $(x_1\cdots x_m)^a$, dove $x_1<\ldots<x_m$ sono elementi di $X_n$, non è mai divisibile per $p$.

Parte 1 qui
Parte 2 qui
Parte 3 qui
Parte 4 qui
Parte 5 qui

Ps. Il primo punto serve solo a dire che il secondo è ben definito..
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