Fatto noto sui Fibonacci

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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<enigma>
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Fatto noto sui Fibonacci

Messaggio da <enigma> » 01 set 2014, 13:51

Un esercizio semplice sui numeri di Fibonacci che torna utile aver visto almeno una volta nella vita. Dimostrare che per ogni intero fissato $k$, $F_{kn}$ è esprimibile come polinomio in $F_n$ e $F_{n-1}$. E se invece considero $F_{kn+l}$, con anche $l$ fissato?
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
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fph
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Re: Fatto noto sui Fibonacci

Messaggio da fph » 01 set 2014, 18:53

Intendi "per ogni $k$ esiste un polinomio $p\in\mathbb{Z}[x,y]$ tale che per ogni $n$ si ha $F_{kn}=p(F_n,F_{n-1})$? Altrimenti se i quantificatori non son messi così nulla mi impedisce di prendere il polinomio costante uguale a $F_{kn}$...
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<enigma>
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Re: Fatto noto sui Fibonacci

Messaggio da <enigma> » 01 set 2014, 21:24

Sì.
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spugna
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Re: Fatto noto sui Fibonacci

Messaggio da spugna » 07 set 2014, 11:44

Si può dimostrare per induzione su $k$

Base: per $k=1$ ho che $F_{n+1}=F_{n-1}+F_n \Rightarrow F_{n+2}=F_{n-1}+2F_n \Rightarrow F_{n+3}=2F_{n-1}+3F_n \Rightarrow ...$

e in generale $F_{n+l}=F_lF_{n-1}+F_{l+1}F_n$ (1)(viene facilmente per induzione), per cui il polinomio cercato è

$p_{1,l}(x,y)=F_lx+F_{l+1}y$

Passo induttivo: suppongo che per un certo $k$ e per ogni $l$ esista $p_{k,l}$: allora, riprendendo la (1)

$F_{(k+1)n+l}=F_{n+(kn+l)}=F_{kn+l}F_{n-1}+F_{kn+l+1}F_n \Rightarrow p_{k+1,l}(x,y)=p_{k,l}(x,y)x+p_{k,l+1}(x,y)y$, che è ancora un polinomio
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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