Data l'equazione $p^2+q^2=pqn+1$ trovare tutte le terne ordinate di numeri interi positivi $ (p,q,n) $ tali che siano soluzioni dell'equazione e che $ p,q $ siano primi.
Io ho provato così: supponendo $ p=q $, avremo che $ p^2=\frac{1}{2-n} $, che non ha soluzioni, perché se $ n>2 $ il secondo membro sarebbe negativo e il primo positivo, se $ n=2 $ la frazione è indefinita, se $ n=0 $ il primo membro sarebbe un intero e il secondo un decimale, se $ n=1 $ allora $ p=1 $, che non è primo.
Supponiamo invece $ p>q $, aggiungendo $ 2pq $ ad entrambi i membri avremo che $ p^2+q^2+2pq=(n+2)pq+1, (p+q)^2=(n+2)pq+1, (p+q)^2-1=(n+2)pq, (p+q+1)(p+q-1)=(n+2)pq $, questo significa che almeno uno dei fattori del primo membro deve essere divisibile per $ p $. Non è possibile che lo sia $ (p+q-1) $, perché $ p+x $ è divisibile per $ p $ se e solo se $ x $ è un multiplo di $ p $ (infatti se $ p+x=hp, x=(h-1)p $), ma $ q-1<p $ e pertanto non può esserne multiplo. Per il fattore $ (p+q+1) $ vale lo stesso ragionamento e dunque non ci sono soluzioni, fatta eccezione per il caso in cui $ p=q+1 $, per cui la terna valida è $ (3,2,2) $. Se $ q>p $ si aggiunge la terna $ (2,3,2) $, e la dimostrazione dell'unicità è identica.
