Provinciale 2010

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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flutist001
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Provinciale 2010

Messaggio da flutist001 » 04 ago 2014, 10:50

Probabilmente è troppo semplice per molti di voi. Ad ogni modo mi farebbe piacere sapere che ve ne pare del mio tentativo di soluzione e magari vederne qualcuno più sofisticato :)

Data l'equazione $p^2+q^2=pqn+1$ trovare tutte le terne ordinate di numeri interi positivi $ (p,q,n) $ tali che siano soluzioni dell'equazione e che $ p,q $ siano primi.

Io ho provato così: supponendo $ p=q $, avremo che $ p^2=\frac{1}{2-n} $, che non ha soluzioni, perché se $ n>2 $ il secondo membro sarebbe negativo e il primo positivo, se $ n=2 $ la frazione è indefinita, se $ n=0 $ il primo membro sarebbe un intero e il secondo un decimale, se $ n=1 $ allora $ p=1 $, che non è primo.
Supponiamo invece $ p>q $, aggiungendo $ 2pq $ ad entrambi i membri avremo che $ p^2+q^2+2pq=(n+2)pq+1, (p+q)^2=(n+2)pq+1, (p+q)^2-1=(n+2)pq, (p+q+1)(p+q-1)=(n+2)pq $, questo significa che almeno uno dei fattori del primo membro deve essere divisibile per $ p $. Non è possibile che lo sia $ (p+q-1) $, perché $ p+x $ è divisibile per $ p $ se e solo se $ x $ è un multiplo di $ p $ (infatti se $ p+x=hp, x=(h-1)p $), ma $ q-1<p $ e pertanto non può esserne multiplo. Per il fattore $ (p+q+1) $ vale lo stesso ragionamento e dunque non ci sono soluzioni, fatta eccezione per il caso in cui $ p=q+1 $, per cui la terna valida è $ (3,2,2) $. Se $ q>p $ si aggiunge la terna $ (2,3,2) $, e la dimostrazione dell'unicità è identica.

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Lasker
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Re: Provinciale 2010

Messaggio da Lasker » 04 ago 2014, 11:32

Forse puoi concludere velocemente (almeno, io farei così), una volta che hai supposto WLOG $p>q$, semplicemente vedendo l'equazione modulo $p$:
$$q^2\equiv 1 \pmod p\ \ \Rightarrow \ \ \ p\mid (q+1)(q-1)\ \ \Rightarrow \ \ p\mid (q-1)\ \ \lor \ \ p\mid (q+1)$$
Quindi abbiamo due casi:
$1)$ $p\mid q-1\ \ \Rightarrow \ \ p\leq q-1$, assurdo perché siamo nell'ipotesi $p>q>q-1$.
$2)$ $p\mid q+1\ \ \Rightarrow \ \ p\leq q+1$, ma visto che $p>q$ si ha $p=q+1$.
Gli unici due primi consecutivi sono $2$ e $3$ (banale perché uno dei due deve essere pari), da cui si ha che deve valere $p=3$, $q=2$, sostituendo nell'equazione si ha l'equazione di primo grado per $n$ che dà $(p,q,n)=(3,2,2)$. Le terne $(p,q,n)$ ordinate che danno soluzioni sono pertanto solamente $(3,2,2)$ e $(2,3,2)$
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Re: Provinciale 2010

Messaggio da fph » 04 ago 2014, 11:46

Sì è quasi la stessa soluzione, anche lui fattorizza e arriva a dire che o $p \mid q-1$ o $p \mid q+1$. A te viene più naturale pensarla come congruenze probabilmente ma non è necessario. :)
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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