$x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Triarii
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$x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$

Messaggio da Triarii » 30 lug 2014, 15:17

Mostrare che dato un qualsiasi primo $p$, esistono degli interi $x,y,z,w$ che soddisfano
$$x^2+y^2+z^2-wp=0$$ e $0<w<p$
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aetwaf
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Re: $x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$

Messaggio da aetwaf » 09 ago 2014, 14:00

Supponiamo di avere già $x,y,z$ tali che
$x^2+y^2+z^2\equiv 0\pmod p$
Allora, poiché $x^2\equiv (p-x)^2\pmod p$
Possiamo sempre scegliere
$x,y,z\le \frac {p-1} 2$
Quindi $x^2+y^2+z^2<p^2$

Ora, supponiamo che esistano $a$ e $-a$ positivi tali che siano entrambi residui quadratici modulo $p$
Allora scegliamo $x^2\equiv a\pmod p$
$y^2\equiv -a\pmod p$
$z=0$
$x^2+y^2+z^2\equiv 0\pmod p$
Se non esistono $a$ e $-a$ con quelle caratteristiche significa che i non residui sono tutti e soli gli opposti dei residui
Ora, noi cerchiamo dunque $2$ residui la cui somma non sia residuo
Ma se non esistessero significherebbe che la somma di $2$ residui é sempre un residuo
Ma $1$ é residuo
Quindi lo sarebbero $1+1=2,2+1=3,\ldots ,p-2+1=p-1$ assurdo
Quindi devono esistere $x,y,z$ tali che $x^2+y^2\equiv -z^2\pmod p$
Segue la tesi
Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essera contenuta nel margine troppo stretto della pagina

matpro98
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Re: $x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$

Messaggio da matpro98 » 09 ago 2014, 14:11

aetwaf ha scritto: Ora, supponiamo che esistano $a$ e $-a$ positivi
Come fanno ad essere entrambi positivi?

Gottinger95
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Re: $x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$

Messaggio da Gottinger95 » 09 ago 2014, 15:27

Forse intendeva \(a, p-a\) ..?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

Triarii
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Re: $x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$

Messaggio da Triarii » 09 ago 2014, 23:40

Mi pare giusta :) Un altro modo poteva essere quello di prendere $x\equiv 1$ e poi ragionare su $y,z$ e notare dopo 1-2 passaggi che per il principio dei cassetti sicuramente esiste coppia di residui quadratici la cui somma è quella desiderata.
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aetwaf
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Re: $x^2+y^2+z^2-wp=0, 0<w<p$

Messaggio da aetwaf » 10 ago 2014, 00:05

Sí intendevo $a$ e $-a$ modulo $p$ cioé $a$ e $p-a$
Scusate l'imprecisione

Ho provato in vari modi col pigeonhole ma non ne uscivo in fretta quindi ho optato per un'altra soluzione
Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essera contenuta nel margine troppo stretto della pagina

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