Almeno k fattori primi con probabilità 1

[jordan]

Siano $c$ e $k$ due costanti positive fissate. Dimostrare che se $x$ è sufficientemente grande allora il numero di interi positivi $n\le x$, tali che il numero di fattori primi di $n$ è minore di $k$, è minore di $cx$, i.e.
$$\lim_{x\to \infty}{\frac{|\{n \in \mathbb{N} \cap [1,x]\colon \omega(n)<k\}|}{x}}=0.$$

[In un articolo di Pomerance c'era scritto "it is easy to see that such density is $0$," a me non è risultato così immediato, mi sono perso qualcosa di ovvio?]