Doppia diofantea con MCD

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Troleito br00tal
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Doppia diofantea con MCD

Messaggio da Troleito br00tal » 27 giu 2014, 17:05

Own. Siano $a,b,c,d$ interi positivi tali che $b^2=ac+1,c^2=bd+1$. Determinare tutti i valori possibili di $(a,c) \cdot (b,d)$.

Triarii
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Re: Doppia diofantea con MCD

Messaggio da Triarii » 30 lug 2014, 15:14

Tutti i numeri diversi da 1 si fanno, il problema è dimostrare che proprio 1 non si può fare (o almeno questo è quello che mi suggerisce il buon senso, che tuttavia mi dovrebbe anche dire di stare alla larga da problemi troppo cattivi per me :P )
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Troleito br00tal
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Re: Doppia diofantea con MCD

Messaggio da Troleito br00tal » 30 lug 2014, 17:06

Buon uomo, quel che tu dici è ben vero.

La strada che porta a escludere l'uno non è forse così ripida come pensi; devo dire che c'è una soluzione quite truccosa (che poi non è manco così distante dalla soluzione violenta) che però non ci si immagina facilmente, ma a meno di svarioni miei dovrebbe venire anche con una qualche tecnica standard un po' violentante.

Ecco un aiuto per entrambe le soluzioni:
Testo nascosto:
Insomma, $a$ e $d$ sono inutili, mettiamoci un bel divide...
E un aiuto per la strada truccosa:
Testo nascosto:
Ora che ho il divide, magari $a$ o $d$ possono comportarsi come $b$ o $d$?

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