Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$
Inviato: 25 mag 2014, 13:23
@jordan
Grazie per giuste osservazioni e per problema posto!! Cerco di risolverlo…
Mi riallaccio a post precedente, utilizzando stesse notazioni:
$\frac{{{b}_{k}}}{\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)}=\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]>\left[ \frac{n+1}{k+2}-2 \right]=\frac{{{b}_{k+1}}}{\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)}$ , ossia
$ \frac{ { {b}_{k+1} } } { { {b}_{k} } }<\frac{ {\binom{n}{k+1} } { \binom{n}{k} } }$
Ma \[\frac{\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)}\ge 1\quad se\quad 0\le k\le \frac{n}{2}\quad e/o\quad \frac{n-1}{2}.\] Ciò implica che i ${{b}_{k}}$ sono NON crescenti, dopo il MAX, ossia per \[\frac{n-2}{3}<k\le \frac{n}{2}\quad e/o\quad \frac{n-1}{2}.\]
Quindi il valore cercato di k sarebbe $k=\left\lfloor \frac{n-2}{3} \right\rfloor $ (parte intera!!).
Grazie per giuste osservazioni e per problema posto!! Cerco di risolverlo…
Mi riallaccio a post precedente, utilizzando stesse notazioni:
$\frac{{{b}_{k}}}{\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)}=\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]>\left[ \frac{n+1}{k+2}-2 \right]=\frac{{{b}_{k+1}}}{\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)}$ , ossia
$ \frac{ { {b}_{k+1} } } { { {b}_{k} } }<\frac{ {\binom{n}{k+1} } { \binom{n}{k} } }$
Ma \[\frac{\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)}\ge 1\quad se\quad 0\le k\le \frac{n}{2}\quad e/o\quad \frac{n-1}{2}.\] Ciò implica che i ${{b}_{k}}$ sono NON crescenti, dopo il MAX, ossia per \[\frac{n-2}{3}<k\le \frac{n}{2}\quad e/o\quad \frac{n-1}{2}.\]
Quindi il valore cercato di k sarebbe $k=\left\lfloor \frac{n-2}{3} \right\rfloor $ (parte intera!!).