max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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gpzes
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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da gpzes » 25 mag 2014, 13:23

@jordan
Grazie per giuste osservazioni e per problema posto!! Cerco di risolverlo…
Mi riallaccio a post precedente, utilizzando stesse notazioni:
$\frac{{{b}_{k}}}{\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)}=\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]>\left[ \frac{n+1}{k+2}-2 \right]=\frac{{{b}_{k+1}}}{\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)}$ , ossia

$ \frac{ { {b}_{k+1} } } { { {b}_{k} } }<\frac{ {\binom{n}{k+1} } { \binom{n}{k} } }$

Ma \[\frac{\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)}\ge 1\quad se\quad 0\le k\le \frac{n}{2}\quad e/o\quad \frac{n-1}{2}.\] Ciò implica che i ${{b}_{k}}$ sono NON crescenti, dopo il MAX, ossia per \[\frac{n-2}{3}<k\le \frac{n}{2}\quad e/o\quad \frac{n-1}{2}.\]
Quindi il valore cercato di k sarebbe $k=\left\lfloor \frac{n-2}{3} \right\rfloor $ (parte intera!!).
Ultima modifica di gpzes il 13 giu 2014, 23:12, modificato 1 volta in totale.

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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da jordan » 25 mag 2014, 22:27

gpzes ha scritto:Ciò implica che i ${{b}_{k}}$ sono NON crescenti, dopo il MAX, ossia per \[\frac{n-2}{3}<k\le \frac{n}{2}\quad e/o\quad \frac{n-1}{2}.\]
Il punto è che in questo post non hai mostrato che il massimo è effettivamente $\lfloor \frac{n-2}{3} \rfloor$, e difatti non lo è: prova a vedere, qual è piu' grande tra
$$ b_{\lfloor \frac{n-2}{3} \rfloor} \text{ } \text{ e }\text{ }b_{\lfloor \frac{n-2}{3} \rfloor+1}$$
:wink:
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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da gpzes » 07 giu 2014, 07:36

@jordan.
Mi scuso per risposta tardia...in altre faccende affacendato...come direbbe qualcuno ;)
Grazie per puntuali osservazioni e per spingere ad essere più riflessivi.

Tenuto conto della simmetria del triangolo Pascal, posto ${{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)$ , posso limitare la mia attenzione a $0\le k\le \frac{n}{2}$ oppure $0\le k\le \frac{n-1}{2}$, a seconda dei casi.
Scriviamo ${{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]$.Uso parentesi quadre per distinguere dalle tonde del binomiale.
Allora ${{b}_{k+1}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+2 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)\left[ \frac{n+1}{k+1}-1 \right]\left[ \frac{n+1}{k+2}-2 \right]$.
Posto $\frac{n+1}{k+1}=\alpha \quad e\quad \frac{n+1}{k+2}=\beta $, osservo che $\alpha >\beta $.
Considero
${{b}_{k+1}}-{{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)\left[ \left( \alpha -1 \right)\left( \beta -2 \right)-\left( \alpha -2 \right) \right]=\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)\left[ \left( \alpha -1 \right)\left( \beta -3 \right)+1 \right]$
Ultima modifica di gpzes il 12 giu 2014, 09:25, modificato 1 volta in totale.

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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da jordan » 11 giu 2014, 14:56

gpzes ha scritto: Scriviamo ${{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]$.[...]
Allora ${{b}_{k+1}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+2 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]\left[ \frac{n+1}{k+2}-2 \right]$.
C'è qualche problema qui sopra? [In ogni caso ancora non ci siamo sul risultato..]
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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da gpzes » 12 giu 2014, 09:27

@jordan :oops: :oops: :oops:
chiedo scusa per errori così grossolani.Ho modificato post ma... decisamente non ci siamo :oops: :oops: :wink:

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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da jordan » 12 giu 2014, 11:40

Tranquillo :) Proviamo a scrivere sia $b_k$ che $b_{k+1}$ come $\binom{n}{k}f(k)$ per qualche funzione $f$; l'idea ci sta per ora, i conti si aggiustano :P
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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da gpzes » 13 giu 2014, 22:52

@jordan
grazie per continua disponibilità e pazienza :wink:
ad essere sincero sono pervenuto ad un risultato numerico..ma prima di postare conti " forse aggiustati" mi piacerebbe riscontro :oops: :oops: :wink:
può essere che k = 250.000 ???

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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da jordan » 13 giu 2014, 22:56

Non è 250000, ma quello che importa è come ci sei arrivato.. :roll:
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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da gpzes » 13 giu 2014, 23:33

:oops:
Scriviamo ${{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]$.Uso parentesi quadre per distinguere dalle tonde del binomiale.
Allora ${{b}_{k+1}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+2 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)\left[ \frac{n+1}{k+1}-1 \right]\left[ \frac{n+1}{k+2}-2 \right]$.
Posto $\frac{n+1}{k+1}=\alpha \quad e\quad \frac{n+1}{k+2}=\beta $, osservo che $1/\beta - 1/\alpha =1/{(n+1)} $ e ${(n+1)}{(\alpha-\beta)}=\alpha\beta $.
Considero
${{b}_{k+1}}-{{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)\left[ \left( \alpha -1 \right)\left( \beta -2 \right)-\left( \alpha -2 \right) \right]=\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)\left[ \alpha(n-2)-\beta(n+2)+4 \right]$.
Allora dovrei risolvere disequazione di secondo grado in k e vedere dove ${{b}_{k}}$ sono, ad esempio, decrescenti.....mmm..non va....valori successivi decrescenti in certo intervallo dei k ma più alti dei valori fuori dall'intervallo ..... :oops: :oops:
verrebbe da dire....
$\underset{0\le k\le \frac{n-1}{2}}{\mathop{\max }}\,\left\{ {{b}_{k}} \right\}$ si otterrebbe per $\underset{0\le k\le \frac{n-1}{2}}{\mathop{\min }}\,\left\{ \left| \alpha (n-2)-\beta (n+2)+4 \right| \right\}$.....
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Posto $\frac{n+1}{k+1}=\alpha \quad e\quad \frac{n+1}{k+2}=\beta$, ottengo che$\left( \alpha -\beta \right)\left( n+1 \right)=\alpha \beta $.
Studio per quali k, $0\le k\le \frac{n-1}{2}$, vale il rapporto
\[\frac{{{b}_{k+1}}}{{{b}_{k}}}=\frac{\left( \alpha -1 \right)\left( \beta -2 \right)}{\left( \alpha -2 \right)}\ge 1\]
per vedere dove i $\left\{ {{b}_{k}} \right\}$ sono crescenti.
Dopo calcoli ottengo la disequazione \[\alpha (n-2)-\beta (n+2)+4\ge 0\] e, infine, $4{{k}^{2}}+k(8-4n)+{{n}^{2}}-5n+2\ge 0$ .
Otteniamo: $k\le \frac{n-2-\sqrt{n+2}}{2}\wedge \frac{n-2+\sqrt{n+2}}{2}\le k$.
Visti i dati del problema sembrerebbe che soluzione sia $k=\left\lfloor \frac{n-2-\sqrt{n+2}}{2} \right\rfloor +1$, ossia k = 499499.

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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da jordan » 15 giu 2014, 21:14

Te l'ho detto che era solo questione di conti :P

Bene, propongo ora la soluzione alternativa: per n grande la distribuzione dei binomiali tende alla gaussiana (un caso facile del teorema del limite centrale); quello che viene richiesto dal problema, a questo punto, è il punto di flesso di tale distribuzione ;)
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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da gpzes » 15 giu 2014, 23:47

@jordan ..MITICO Jordan :idea: :idea: :idea: :idea: :wink: :wink:
..meno male....mi stava venendo esaurimento :lol: :lol: ...non ti dico i disegnini sul triangolo di Pascal ..forse dopo 100 anni avrei visto pattern :lol: :lol: :lol:
Bellissimo problema :wink: :wink:

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Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da jordan » 16 giu 2014, 12:58

Grazie! Vedi, con la calma si fa tutto :P
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