Salve, ci provo… con tutta l’umiltà di questo mondo in cui non si finisce mai di imparare
!!
I° fatto:
Dato coefficiente binomiale, come in triangolo di Pascal, il valore più alto lo trovo nel seguente modo:
$\max \left( \begin{matrix}
a \\
b \\
\end{matrix} \right)=\left\{ \begin{matrix}
\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
a \\
\frac{a}{2} \\
\end{matrix} \right)\quad a\quad pari \\
& \left( \begin{matrix}
a \\
\frac{a-1}{2} \\
\end{matrix} \right)\quad a\quad dispari \\
\end{align} \\
{} \\
\end{matrix} \right.$
II° fatto:
Tenuto conto della simmetria del triangolo Pascal, posto ${{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)$ , posso limitare la mia attenzione a $0\le k\le \frac{n}{2}$ oppure $0\le k\le \frac{n-1}{2}$, a seconda dei casi.
Scriviamo ${{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]$.Uso parentesi quadre per distinguere dalle tonde del binomiale.
Se il fattore $\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]\ge 1$ , per certi k, allora ${{b}_{k}}\ge \left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)$. Tali valori sarebbero $0\le k\le \frac{n-2}{3}$ .
Quindi $\underset{0\le k\le \frac{n-2}{3}}{\mathop \max }\,\left\{ {{b}_{k}} \right\}\ge \underset{0\le k\le \frac{n-2}{3}}{\mathop \max }\,\left\{ \left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right) \right\}$ . Poiché $\frac{n-2}{3}<\frac{n}{2}\quad e/o\frac{n-1}{2}$, avrei che
\[\underset{0\le k\le \frac{n-2}{3}}{\mathop \max }\,\left\{ \left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right) \right\}=\left( \begin{matrix}
n \\
\frac{n-2}{3} \\
\end{matrix} \right)\]
, dato che i coefficienti sono crescenti nel triangolo di Pascal fino ai k visti nel I° fatto.
Per i k non considerati varrebbero le disuguaglianze opposte che, però, non interesserebbero per il problema.
Concluderei ,dicendo che il valore cercato di k sarebbe $k=\left\lfloor \frac{n-2}{3} \right\rfloor$ (parte intera!!).
mmmm...qualcosa non va..ma sembra strada giusta
sistemo.
