max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da jordan » 15 mag 2014, 21:51

Questo esercizio è uno spettacolo!

Sia $x$ un intero positivo minore di $10^6$ tale che $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$ è massimo. Quant'è $x$?
The only goal of science is the honor of the human spirit.

lucaboss98
Messaggi: 30
Iscritto il: 02 feb 2014, 19:23
Località: Napoli

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da lucaboss98 » 15 mag 2014, 22:32

jordan ha scritto:Questo esercizio è uno spettacolo!

Sia $x$ un intero positivo minore di $10^6$ tale che $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$ è massimo. Quant'è $x$?
$ \binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x} = \dfrac{10^6!}{(x+1)!(10^6-x-1)!} - \dfrac{10^6!}{x!(10^6-x)!} = \dfrac{10^6! \cdot (10^6-x-x-1)}{(x+1)!(10^6-x)!} = \dfrac{10^6! \cdot (10^6 - 2x -1)}{(x+1)!(10^6-x)!} $
Ultima modifica di lucaboss98 il 15 mag 2014, 23:49, modificato 1 volta in totale.

Gottinger95
Messaggi: 481
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da Gottinger95 » 15 mag 2014, 23:42

Sono io rimbambito o al minimo comunque multiplo viene \( 10^6-2x-1\) e non \(10^6+1\) ?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

spugna
Messaggi: 421
Iscritto il: 19 mar 2009, 22:18
Località: Forlì

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da spugna » 15 mag 2014, 23:42

lucaboss98 ha scritto: $ \binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x} = \dfrac{10^6!}{(x+1)!(10^6-x-1)!} - \dfrac{10^6!}{x!(10^6-x)!} = \dfrac{10^6! \cdot (10^6-x+x+1)}{(x+1)!(10^6-x)!} = \dfrac{(10^6+1)!}{(x+1)!(10^6-x)!} $
Credo ci sia un errore di segno nel penultimo passaggio...
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

lucaboss98
Messaggi: 30
Iscritto il: 02 feb 2014, 19:23
Località: Napoli

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da lucaboss98 » 15 mag 2014, 23:46

Gottinger95 ha scritto:Sono io rimbambito o al minimo comunque multiplo viene \( 10^6-2x-1\) e non \(10^6+1\) ?
hai ragione! che idiozia, ho considerato come se fosse un $ + $ e non un $ –  $ :oops: sistemo.

spugna
Messaggi: 421
Iscritto il: 19 mar 2009, 22:18
Località: Forlì

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da spugna » 16 mag 2014, 00:22

Vabbè, mi pare che l'hint funzioni lo stesso...
Testo nascosto:
Quanto fa $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}$ ?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

Gottinger95
Messaggi: 481
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da Gottinger95 » 16 mag 2014, 19:40

Si, viene, e pure carino! :)
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da jordan » 16 mag 2014, 23:38

...e oltre la soluzione contosa di guardare il rapporto? Si riesce a rispondere così, a parole? :P
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Avatar utente
karlosson_sul_tetto
Messaggi: 1436
Iscritto il: 10 set 2009, 13:21
Località: Napoli

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 17 mag 2014, 13:55

A parole l'unica che mi viene in mente è quella della firma di spugna.
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

Gottinger95
Messaggi: 481
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da Gottinger95 » 19 mag 2014, 16:24

Comunque la soluzione contosa è una disequazione di secondo grado... c'è un modo più intuitivo?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

Avatar utente
<enigma>
Messaggi: 876
Iscritto il: 24 set 2009, 16:44

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da <enigma> » 19 mag 2014, 20:21

Non penso ci sia una strada rigorosa più veloce senza guardare il rapporto. Poiché $\binom{A}{x+1}/\binom{A}{x}=(A-x)/(x+1)$, per $A$ grande il binomiale centrale è titanicamente più grosso di tutti gli altri!
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da jordan » 20 mag 2014, 22:37

Mmh si ma qualcuno potrebbe postare intanto una soluzione completa? [@enigma: non quel rapporto..]

La strada "non rigorosa" resta comunque piu' sfiziosa secondo me :roll:
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Avatar utente
gpzes
Messaggi: 173
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da gpzes » 21 mag 2014, 01:32

Salve, ci provo… con tutta l’umiltà di questo mondo in cui non si finisce mai di imparare ;) !!
I° fatto:
Dato coefficiente binomiale, come in triangolo di Pascal, il valore più alto lo trovo nel seguente modo:
$\max \left( \begin{matrix}
a \\
b \\
\end{matrix} \right)=\left\{ \begin{matrix}
\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
a \\
\frac{a}{2} \\
\end{matrix} \right)\quad a\quad pari \\
& \left( \begin{matrix}
a \\
\frac{a-1}{2} \\
\end{matrix} \right)\quad a\quad dispari \\
\end{align} \\
{} \\
\end{matrix} \right.$
II° fatto:
Tenuto conto della simmetria del triangolo Pascal, posto ${{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)$ , posso limitare la mia attenzione a $0\le k\le \frac{n}{2}$ oppure $0\le k\le \frac{n-1}{2}$, a seconda dei casi.
Scriviamo ${{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]$.Uso parentesi quadre per distinguere dalle tonde del binomiale.
Se il fattore $\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]\ge 1$ , per certi k, allora ${{b}_{k}}\ge \left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)$. Tali valori sarebbero $0\le k\le \frac{n-2}{3}$ .
Quindi $\underset{0\le k\le \frac{n-2}{3}}{\mathop \max }\,\left\{ {{b}_{k}} \right\}\ge \underset{0\le k\le \frac{n-2}{3}}{\mathop \max }\,\left\{ \left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right) \right\}$ . Poiché $\frac{n-2}{3}<\frac{n}{2}\quad e/o\frac{n-1}{2}$, avrei che
\[\underset{0\le k\le \frac{n-2}{3}}{\mathop \max }\,\left\{ \left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right) \right\}=\left( \begin{matrix}
n \\
\frac{n-2}{3} \\
\end{matrix} \right)\]
, dato che i coefficienti sono crescenti nel triangolo di Pascal fino ai k visti nel I° fatto.
Per i k non considerati varrebbero le disuguaglianze opposte che, però, non interesserebbero per il problema.
Concluderei ,dicendo che il valore cercato di k sarebbe $k=\left\lfloor \frac{n-2}{3} \right\rfloor$ (parte intera!!).

mmmm...qualcosa non va..ma sembra strada giusta :( :(

Avatar utente
<enigma>
Messaggi: 876
Iscritto il: 24 set 2009, 16:44

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da <enigma> » 21 mag 2014, 11:01

Anche...
Testo nascosto:
\[\frac{\binom{A}{x+1}-\binom{A}{x}}{\binom{A}{x}-\binom{A}{x-1}}=\frac{(A-2x-1)(A-x+1)}{(A-2x+1)(x+1)}, \]
e vedendo quando è $\geq 1$ ritrovo il risultato!
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

Messaggio da jordan » 21 mag 2014, 12:08

@enigma: si questa è la strada meccanica che porta al risultato (qual è?)

@gpzes: chi ti dice che per raggiungere il massimo dei $b_k$ devi necessariamente avere che il secondo fattore è maggiore di $1$? Cioè, potrebbe anche essere che quel secondo fattore è "un po'" piu' piccolo di $1$, ma il primo fattore $\binom{n}{k}$ è cosi "grande" da compensare la differenza..?
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Rispondi