Quadrato perfetto

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Commandline
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Quadrato perfetto

Messaggio da Commandline » 14 apr 2014, 21:12

Buonasera, dovrei dimostrare che assegnati due interi positivi x e y posso scegliere un intero positivo k tale che $x^2 k^2 -4yk$ sia un quadrato perfetto, qualora non sia possibile dovrei capire quando questa proprietà può essere verificata, ho inoltre che x e y sono coprimi.
Grazie per l'aiuto, non saprei dove iniziare :)

Triarii
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Re: Quadrato perfetto

Messaggio da Triarii » 14 apr 2014, 21:48

Scusa ma non ho capito: è il testo di un esercizio oppure una cosa che ti piacerebbe fosse vera ma che forse non lo è? (a occhio ponendo x=y=1 mi sa che non viene un quadrato perfetto...) Poi x e y devono essere coprimi?
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Commandline
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Re: Quadrato perfetto

Messaggio da Commandline » 14 apr 2014, 23:55

È una cosa che mi piacerebbe fosse vera o comunque mi servirebbe capire quando lo è, x e y sono coprimi.

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jordan
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Re: Quadrato perfetto

Messaggio da jordan » 15 apr 2014, 01:16

A occhio è falso. Di certo, per ogni $x,y$ fissati, esistono al massimo $4y^2$ interi positivi $k$ tali che $x^2k^2-4yk$ è un quadrato.

Se magari ci dai la fonte del problema, vediamo come sei finito qui :wink:
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Re: Quadrato perfetto

Messaggio da Commandline » 19 apr 2014, 17:18

Non è preso da un problema, stavo vedendo un'equazione nella quale compariva quell'espressione e mi sono chiesto quando fosse un quadrato perfetto, comunque come si può dimostrare che al massimo sono $4y^2$?

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Re: Quadrato perfetto

Messaggio da jordan » 20 apr 2014, 16:00

Se $x^2k^2-4yk$ è un quadrato, allora lo sarà anche
$$x^2(x^2k-4yk)=(x^2k-2y)^2-4y^2.$$
Ora, fai le tue conclusioni :wink:
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