Sia $k\in \mathbb N$
Siano $p=\frac {p_1} {p_2}, q=\frac {q_1} {q_2},m=\frac {m_1} {m_2}, n=\frac {n_1} {n_2}$
Con $p_1,p_2,q_1,q_2,n_1,n_2,m_1,m_2\in \mathbb Z^0$
Trovare $(p,q,n,m,k)$ tali che valga
\begin{equation} (p+q\sqrt {2})^{2k}+(n+m\sqrt {2})^{2k}=5+4\sqrt {2} \end{equation}
176. Somma di Quadrati
176. Somma di Quadrati
Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essera contenuta nel margine troppo stretto della pagina
- Troleito br00tal
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- Iscritto il: 16 mag 2012, 22:25
Re: 176. Somma di Quadrati
Siano $p'+q' \sqrt{2}=(p+q \sqrt{2})^k$ e $n'+m' \sqrt{2}=(n+m \sqrt{2})^k$. Vale quindi $p'^2+2q'^2+n'^2+2m'^2=5$ e $2p'q' \sqrt{2} + 2n'm' \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$. Ma per AM-GM $p'^2+2q'^2 \ge 2p'q' \sqrt{2}$ e $n'^2 + 2m^2 \ge 2n'm' \sqrt{2}$, da cui $5 \ge 4 \sqrt{2}$: assurdo. Pertanto non vi sono soluzioni.
Re: 176. Somma di Quadrati
Oppure, coniughiamo entrembi i membri in $\mathbb Q[\sqrt2] $ e otteniamo che una somma di quadrati è negativa...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: 176. Somma di Quadrati
Giuste entrambe!!
Ho risposto tardi perchè non mi apriva il topic
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