Re: Diofanteaz
Inviato: 14 feb 2014, 22:47
Visto che non è fuori luogo, aggiungo un commento sull'equazione. A prima vista, chi mi dice che non ci siano ad esempio addirittura infinite soluzioni?
Il fatto è che vale qualcosa di molto più forte: entrambe le equazioni $t^3-u^2=100$ e $t^3-3u^2=100$ hanno un numero finito di punti interi-è un famoso teorema dovuto a Mordell-figuriamoci se avranno molti punti con una coordinata potenza di $3$!
Più in dettaglio, le due curve che ho scritto si trasformano nelle curve di Mordell
\[ E_1: \ y^2=x^3-100\]
e
\[E_2: \ y^2=x^3-2700. \]
Il bound migliore sui punti interi che conosco per $y^2=x^3+n$ è $\max(|x|,|y|)<\exp((10^6 n)^{10^6})$ dalla teoria di Baker-in ogni caso si tratta di un controllo finito, anche se lungo. Questo è il genere di cose che fa bene un computer: i punti interi di $E_1$ sono $(5, \pm 5), (10, \pm 30), (34, \pm 198)$, quelli di $E_2$ sono $(21, \pm 81)$.
Per i più smaliziati: "sì va bene, ma il bound che hai scritto è immenso, come vuoi farcela a controllare fin lì?". Non so esattamente come li abbiano ricavati nella tabella che ho linkato, ma sono sicuro che esistano modi più furbi di controllare tutti i numeri fino a quel limite astronomico. Il modo che mi è venuto in mente sfrutta il caso di Birch e Swinnerton-Dyer mostrato da Kolyvagin (più la modularità): si trova in effetti, per quanto riguarda il rango,
\[ L(E_1,1)=0, \quad L'(E_1,1)=3.5585352581 \ldots, \quad E_1(\mathbb Q)=\langle (10,30) \rangle; \]
\[ L(E_2,1)=0, \quad L'(E_2,1)=2.3172745410 \ldots, \quad E_2( \mathbb Q)=\langle (21,81) \rangle. \]
Inoltre per mostrare che $E_1 ^{\text{tor}}$ e $E_2 ^{\text{tor}}$ sono banali dovrebbe bastare Nagell-Lutz o qualche altro fatto noto... qualcuno meglio informato può confermare o smentire i miei risultati?
Il fatto è che vale qualcosa di molto più forte: entrambe le equazioni $t^3-u^2=100$ e $t^3-3u^2=100$ hanno un numero finito di punti interi-è un famoso teorema dovuto a Mordell-figuriamoci se avranno molti punti con una coordinata potenza di $3$!
Più in dettaglio, le due curve che ho scritto si trasformano nelle curve di Mordell
\[ E_1: \ y^2=x^3-100\]
e
\[E_2: \ y^2=x^3-2700. \]
Il bound migliore sui punti interi che conosco per $y^2=x^3+n$ è $\max(|x|,|y|)<\exp((10^6 n)^{10^6})$ dalla teoria di Baker-in ogni caso si tratta di un controllo finito, anche se lungo. Questo è il genere di cose che fa bene un computer: i punti interi di $E_1$ sono $(5, \pm 5), (10, \pm 30), (34, \pm 198)$, quelli di $E_2$ sono $(21, \pm 81)$.
Per i più smaliziati: "sì va bene, ma il bound che hai scritto è immenso, come vuoi farcela a controllare fin lì?". Non so esattamente come li abbiano ricavati nella tabella che ho linkato, ma sono sicuro che esistano modi più furbi di controllare tutti i numeri fino a quel limite astronomico. Il modo che mi è venuto in mente sfrutta il caso di Birch e Swinnerton-Dyer mostrato da Kolyvagin (più la modularità): si trova in effetti, per quanto riguarda il rango,
\[ L(E_1,1)=0, \quad L'(E_1,1)=3.5585352581 \ldots, \quad E_1(\mathbb Q)=\langle (10,30) \rangle; \]
\[ L(E_2,1)=0, \quad L'(E_2,1)=2.3172745410 \ldots, \quad E_2( \mathbb Q)=\langle (21,81) \rangle. \]
Inoltre per mostrare che $E_1 ^{\text{tor}}$ e $E_2 ^{\text{tor}}$ sono banali dovrebbe bastare Nagell-Lutz o qualche altro fatto noto... qualcuno meglio informato può confermare o smentire i miei risultati?