Diofanteaz

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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<enigma>
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Re: Diofanteaz

Messaggio da <enigma> » 14 feb 2014, 22:47

Visto che non è fuori luogo, aggiungo un commento sull'equazione. A prima vista, chi mi dice che non ci siano ad esempio addirittura infinite soluzioni?
Il fatto è che vale qualcosa di molto più forte: entrambe le equazioni $t^3-u^2=100$ e $t^3-3u^2=100$ hanno un numero finito di punti interi-è un famoso teorema dovuto a Mordell-figuriamoci se avranno molti punti con una coordinata potenza di $3$!
Più in dettaglio, le due curve che ho scritto si trasformano nelle curve di Mordell
\[ E_1: \ y^2=x^3-100\]
e
\[E_2: \ y^2=x^3-2700. \]
Il bound migliore sui punti interi che conosco per $y^2=x^3+n$ è $\max(|x|,|y|)<\exp((10^6 n)^{10^6})$ dalla teoria di Baker-in ogni caso si tratta di un controllo finito, anche se lungo. Questo è il genere di cose che fa bene un computer: i punti interi di $E_1$ sono $(5, \pm 5), (10, \pm 30), (34, \pm 198)$, quelli di $E_2$ sono $(21, \pm 81)$.

Per i più smaliziati: "sì va bene, ma il bound che hai scritto è immenso, come vuoi farcela a controllare fin lì?". Non so esattamente come li abbiano ricavati nella tabella che ho linkato, ma sono sicuro che esistano modi più furbi di controllare tutti i numeri fino a quel limite astronomico. Il modo che mi è venuto in mente sfrutta il caso di Birch e Swinnerton-Dyer mostrato da Kolyvagin (più la modularità): si trova in effetti, per quanto riguarda il rango,
\[ L(E_1,1)=0, \quad L'(E_1,1)=3.5585352581 \ldots, \quad E_1(\mathbb Q)=\langle (10,30) \rangle; \]
\[ L(E_2,1)=0, \quad L'(E_2,1)=2.3172745410 \ldots, \quad E_2( \mathbb Q)=\langle (21,81) \rangle. \]
Inoltre per mostrare che $E_1 ^{\text{tor}}$ e $E_2 ^{\text{tor}}$ sono banali dovrebbe bastare Nagell-Lutz o qualche altro fatto noto... qualcuno meglio informato può confermare o smentire i miei risultati?
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"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

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Drago96
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Re: Diofanteaz

Messaggio da Drago96 » 01 mar 2014, 10:08

Parrebbe che nemmeno i soliti interi di Gauss piacciano...
Quindi, giusto per non lasciare irrisolto il problema, scomponiamo in $\mathbb Z $!
$$ y^3=(3^z+10i)(3^z-10i)$$
Poi, detto $ d $ il gcd dei due fattori abbiamo che $ d\mid 2\cdot3^z $ e $ d\mid 20i $, da cui $ d\mid2 $; ma siccome $ y $ è dispari allora $ d=1 $ (passaggio non proprio immediato, ma basta considerare un attimo le norme o il fatto che $ y $ è un intero vero).
Quindi abbiamo $$ (a+bi)^3=3^z+10i$$ dove le eventuali unità sono assorbite nel cubo; confrontando le parti immaginarie otteniamo $3a^2b-b^3=10 $ e facendo i vari casi con $ b $ divisore di 10 otteniamo che le uniche soluzioni sono $(\pm3,5)$, e sostituendo nella parte reale otteniamo $3^z=a (a^2-3b^2)=\pm3 (9-75) $ che è abbastanza impossibile...
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