Diofanteaz
Inviato: 06 feb 2014, 16:22
Trovare $ 0<x,y \in \mathbb{Z} $ tali che
$ y^3-3^x=100 $.
$ y^3-3^x=100 $.
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Giusto.Troleito br00tal ha scritto:Bel tentativo...
Chiama $f(x)$ la funzione $x^3$ e $g(x)$ la funzione $3^x+100$. Ora, dalla tua soluzione si evince che $f(x)=g(x)$ ha una sola soluzione. In realtà il problema chiede $f(x)=g(y)$, per cui non è detto che per soddisfare la richiesta i due punti debbano effettivamente coincidere nel grafico, basta che le immagini sia uguali.
Bravo, hai intrapreso la retta via.Drago96 ha scritto:Visto l'interessamento di darkcrystal e le potenze di 3, sarei tentato di andare tra gli interi di Eisenstein...
Verissimo! Ma d'altro canto, uno lo ha già fatto una volta nella vita per la norma complessa, e questo è solo un caso particolare... quindi la "verifica" possiamo risparmiarcelaDrago96 ha scritto: Si verifica anche che è moltiplicativa.
"tutti i vari casi" sono ben 2: la pigrizia scorre potente in te, giovane padawan . Ma visto che lo chiedi, no, non serve farsi i casi, per il motivo seguente: guarda il tuo sistema modulo 3 (assumo $z \geq 1$). Si ottiene - per FLT, o comunque si voglia chiamarlo, e usando $\omega^3=1$ - che $1 \equiv u(a+b), 1 \equiv v(a+b) \pmod 3$, da cui $u \equiv v \pmod 3$. Ma $uv=1$, quindi $v=u^{-1}=\bar{u}$, e quindi abbiamo dimostrato $u \equiv \bar{u} \pmod 3$, cioè $2 \Im(u) \equiv 0 \pmod 3$. E l'unica radice terza dell'unità con questa proprietà è chiaramente 1.Drago96 ha scritto: \[
\begin{cases}10+3^z+2\omega 3^z=u(a+\omega b)^3\\10-3^z-2\omega3^z=v(a+\omega^2 b)^3\end{cases}
\]
E qua un po' mi blocco: se $u=1$ allora si confrontano le parti con $\omega$ e si ottiene la soluzione $(5,7)$, che deriva da $7=(3+\omega)(2-\omega)$ e $(3+\omega)^3=19+18\omega$.
Tuttavia in $\mathbb{Z}[\omega]$ le unità non sono dei cubi, quindi non possono essere "assorbite": devo quindi farmi tutti i vari casi? C'è qualche trucco per evitarlo? C'è un altro modo di concludere?
$-1$ non è una radice terza ... comunque (anche se tu hai certamente capito) probabilmente ero stato un po' troppo sintetico, per cui tento di chiarificare un po'. Le unità in $\mathbb{Z}[\omega]$ (cioè gli elementi invertibili, cioè gli oggetti $a \in \mathbb{Z}[\omega]$ per cui esiste un $b \in \mathbb{Z}[\omega]$ tale che $ab=1$) sono le radici seste dell'unità; nella notazione di sopra, bisognerebbe fare i vari casi per $u$ che varia tra tutte le unità. Tuttavia se per caso c'è una soluzione con $u$ allora posso rimpiazzaredarkcrystal ha scritto:l'unica radice terza dell'unità