Diofanteaz

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
NicolasRossi
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Diofanteaz

Messaggio da NicolasRossi » 06 feb 2014, 16:22

Trovare $ 0<x,y \in \mathbb{Z} $ tali che
$ y^3-3^x=100 $.
"Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica, l'amore." [cit.]

maurizio43
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Re: Diofanteaz

Messaggio da maurizio43 » 06 feb 2014, 20:50

Direi che ha una e una sola soluzione .
Testo nascosto:
Si può verificare che una soluzione del problema è $y=7$ e $ x=3 $ ; infatti $ 3^5 +100 = 343 $ e anche $ 7^3=343 $ .
La soluzione poi è unica perchè la funzione $ z=y^3 $ è una cubica che può essere rappresentata in un semipiano (positivo) cartesiano con un andamento tipo parabola, molto più ripido, che parte dall' origine ; mentre la funzione $ z= 3^x +100 $ può essere rappresentata in un semipiano (positivo) cartesiano con
l' andamento tipico delle funzioni esponenziali , partendo dal punto di coordinate $ ( 0 ; 101 ) $.
Sovrapponendo il grafico di queste due funzioni si vedono curve di tipo tale che : o non si incontrano mai (se la curva più interna ha in ogni punto pendenza maggiore della corrispondente pendenza dell'altra) o si incrociano una sola volta .
Ultima modifica di maurizio43 il 06 feb 2014, 21:08, modificato 1 volta in totale.

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Re: Diofanteaz

Messaggio da Troleito br00tal » 06 feb 2014, 21:03

Bel tentativo...

Chiama $f(x)$ la funzione $x^3$ e $g(x)$ la funzione $3^x+100$. Ora, dalla tua soluzione si evince che $f(x)=g(x)$ ha una sola soluzione. In realtà il problema chiede $f(x)=g(y)$, per cui non è detto che per soddisfare la richiesta i due punti debbano effettivamente coincidere nel grafico, basta che le immagini sia uguali.

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auron95
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Re: Diofanteaz

Messaggio da auron95 » 06 feb 2014, 21:18

Ma anche y deve essere positivo, o solo x?
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darkcrystal
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Re: Diofanteaz

Messaggio da darkcrystal » 06 feb 2014, 21:39

Per $y \leq 0$ si ha $y^3-3^x < 0$. Altro tipo di curiosità: provenienza del problema?
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auron95
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Re: Diofanteaz

Messaggio da auron95 » 06 feb 2014, 21:43

Già beh in effetti..... :oops:
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maurizio43
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Re: Diofanteaz

Messaggio da maurizio43 » 06 feb 2014, 23:44

Troleito br00tal ha scritto:Bel tentativo...

Chiama $f(x)$ la funzione $x^3$ e $g(x)$ la funzione $3^x+100$. Ora, dalla tua soluzione si evince che $f(x)=g(x)$ ha una sola soluzione. In realtà il problema chiede $f(x)=g(y)$, per cui non è detto che per soddisfare la richiesta i due punti debbano effettivamente coincidere nel grafico, basta che le immagini sia uguali.
Giusto. :oops:
Sono stato depistato da una mia intima overdose di fretta e di entusiasmo....
Non a caso avevo parlato di 2 grafici da sovrapporre. Ma qui le soluzioni non si devono ricavare solo se le due curve si intersecano in un punto in comune,
ma anche se possiamo far loro avere punti in comune traslando orizzontalmente una rispetto all'altra !
In pratica ho girato attorno al problema e mi trovo al punto di partenza..... :oops:

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Re: Diofanteaz

Messaggio da Drago96 » 07 feb 2014, 12:06

Visto l'interessamento di darkcrystal e le potenze di 3, sarei tentato di andare tra gli interi di Eisenstein...
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Re: Diofanteaz

Messaggio da Draco76 » 07 feb 2014, 18:53

Drago96 ha scritto:Visto l'interessamento di darkcrystal e le potenze di 3, sarei tentato di andare tra gli interi di Eisenstein...
Bravo, hai intrapreso la retta via.
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Re: Diofanteaz

Messaggio da Drago96 » 12 feb 2014, 20:47

Boh, vediamo di scrivere qualcosa sugli interi di Eisenstein... (giusto per chiarire le idee a chi legge e anche a me stesso)
$\newcommand{\eis}{\mathbb Z[\omega]}
\newcommand{\w}{\omega}$
Definizione. Sia $\displaystyle\w:=e^\frac{i2\pi}3=\frac{-1+i\sqrt3}2$. Gli interi di Eisenstein sono gli elementi dell'insieme $\eis=\{a+\w b|(a,b)\in\mathbb Z^2\}$. Nel piano di Gauss formano un reticolo a triangoli equilateri.
Proprietà di $\w$. Intanto $\w^2+\w+1=0 \; (1)$, quindi $\w^3=1$; inoltre $\bar\w=\w^2\;(2)$.
Norma. Al solito, dato un elemento $z=a+\w b$ ne definiamo la norma $N(z):=z\bar z$; per le proprietà del coniugio, abbiamo $N(z)=(a+\w b)(a+\bar\w b)$; con la $(2)$ ed espandendo otteniamo $N(z)=(a+\w b)(a+\w^2 b)=a^2+ab\w^2+\w ab+\w^3b^2=a^2+ab(\w+\w^2)+b^2$; usando la $(1)$ abbiamo finalmente $N(z)=a^2-ab+b^2$. Notiamo che è sempre un intero positivo. Si verifica anche che è moltiplicativa.
Divisibilità. Se $\alpha\mid\beta$ allora $N(\alpha)\mid N(\beta)$ per ogni $\alpha,\beta\in\eis$. Infatti sia $\gamma$ tale che $\beta=\alpha\gamma$; se coniughiamo e moltiplichiamo otteniamo $N(\beta)=N(\alpha)N(\gamma)$.
Unità. Le unità sono gli elementi con $N(u)=1$, dunque sono $\{\pm1,\pm\w,\pm\w^2\}$.
Fattorizzazione unica. $\eis$ è un UFD (rispetto alla norma): è infatti il reticolo triangolare, e dunque come negli interi gaussiani possiamo trovare dei resti abbastanza piccoli, e dunque abbiamo la divisione euclidea che ci porta alla fattorizzazione unica.
Primi. Chi sono i primi? Sicuramente quelli con la norma che è un primo, perché primi e irriducibili coincidono. Vediamo ora quali primi di $\mathbb Z$ sono anche primi di Eisenstein. Intanto abbiamo che $3=-(1+2\w)^2$; poi dico che ogni primo $p\equiv1\pmod3$ si scrive nella forma $a^2+3b^2$ (hint: thue+escludere due casi), che si fattorizza come $(a+b+2b\w)(a+b+2b\w^2)$; verifichiamo infine che i primi $p\equiv2\pmod3$ sono primi di Eisenstein: se avessi $p=uv$, allora $p^2=N(p)=N(u)N(v)$; quindi wlog $p\mid N(u)=a^2-ab+b^2$; ma questo implica $p\mid a,p\mid b$ (è noto, chi vuole se lo dimostra con reciprocità oppure ordini) e quindi $p^2\mid N(u)$, ovvero $N(v)=1$, quindi $p$ è irriducibile e anche primo.

Bene, dopo questa introduzione attacchiamo il problema.
Parto dal fatto che $x$ sia dispari; il caso $x$ pari l'ho fatto con i "normali" interi di Gauss... :P (e quindi lo lascio a chi ha voglia)
Dunque $x=2z+1$ e fattorizziamo così: $y^3=(10+3^z\cdot i\sqrt3)(10-3^z\cdot i\sqrt3)$ e si verifica abbastanza facilmente (facendo il conto) che $$y^3=(10+3^z+2\cdot3^z\omega)(10-3^z-2\cdot3^z\omega)$$
Notiamo intanto che i due fattori continuano ad essere uno il coniugato dell'altro. Poi come al solito cerchiamo di capire chi è il massimo comun divisore di quegli oggetti; detto $d=\gcd(10+3^z+2\cdot3^z\omega,10-3^z-2\cdot3^z\omega)$ abbiamo che $d\mid20$ e $d\mid 2\cdot 3^z(1+2\omega)$; e qua siamo già molto contenti, perché $20$ ha solo fattori primi $\equiv2\pmod3$, che sono primi anche in $\mathbb Z[\omega]$; inoltre $3=-(1+2\omega)^2$, quindi la seconda divisibilità diventa $d\mid2\cdot(1+2\omega)^{2z+1}$; ma $1+2\omega$ non divide nè $2$ nè $5$, quindi otteniamo che $d\mid2$; tuttavia $y$ è dispari, quindi $$d=1$$ Quello che speravamo! Perché è così importante questo fatto? Perché come tra i normali interi ne concludiamo che entrambi i fattori sono dei cubi (a meno di unità). Quindi scriviamo $$\begin{cases}10+3^z+2\w3^z=u(a+\omega b)^3\\10-3^z-2\omega3^z=v(a+\w^2 b)^3\end{cases}$$
E qua un po' mi blocco: se $u=1$ allora si confrontano le parti con $\w$ e si ottiene la soluzione $(5,7)$, che deriva da $7=(3+\w)(2-\w)$ e $(3+\w)^3=19+18\w$.
Tuttavia in $\eis$ le unità non sono dei cubi, quindi non possono essere "assorbite": devo quindi farmi tutti i vari casi? C'è qualche trucco per evitarlo? C'è un altro modo di concludere?

Ringrazio chiunque abbia voglia di leggere questo lungo messaggio e chi mi correggerà... :)
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Re: Diofanteaz

Messaggio da darkcrystal » 12 feb 2014, 21:19

Drago96 ha scritto: Si verifica anche che è moltiplicativa.
Verissimo! Ma d'altro canto, uno lo ha già fatto una volta nella vita per la norma complessa, e questo è solo un caso particolare... quindi la "verifica" possiamo risparmiarcela :P
Drago96 ha scritto: \[
\begin{cases}10+3^z+2\omega 3^z=u(a+\omega b)^3\\10-3^z-2\omega3^z=v(a+\omega^2 b)^3\end{cases}
\]

E qua un po' mi blocco: se $u=1$ allora si confrontano le parti con $\omega$ e si ottiene la soluzione $(5,7)$, che deriva da $7=(3+\omega)(2-\omega)$ e $(3+\omega)^3=19+18\omega$.
Tuttavia in $\mathbb{Z}[\omega]$ le unità non sono dei cubi, quindi non possono essere "assorbite": devo quindi farmi tutti i vari casi? C'è qualche trucco per evitarlo? C'è un altro modo di concludere?
"tutti i vari casi" sono ben 2: la pigrizia scorre potente in te, giovane padawan :P. Ma visto che lo chiedi, no, non serve farsi i casi, per il motivo seguente: guarda il tuo sistema modulo 3 (assumo $z \geq 1$). Si ottiene - per FLT, o comunque si voglia chiamarlo, e usando $\omega^3=1$ - che $1 \equiv u(a+b), 1 \equiv v(a+b) \pmod 3$, da cui $u \equiv v \pmod 3$. Ma $uv=1$, quindi $v=u^{-1}=\bar{u}$, e quindi abbiamo dimostrato $u \equiv \bar{u} \pmod 3$, cioè $2 \Im(u) \equiv 0 \pmod 3$. E l'unica radice terza dell'unità con questa proprietà è chiaramente 1.
Per chi fosse spaventato di cosa voglia dire "modulo 3" in questo caso: due cose sono congrue modulo 3 se la loro differenza è divisibile per 3... negli interi di Eisenstein, cioè $a \equiv b \pmod 3 \Longleftrightarrow$ esiste un certo $c=d+e\omega$ tale che $a=b+3c$.

Comunque molto molto bene, e in questo modo sono pure stato esentato dallo scrivere io tutta l'introduzione agli interi di Eisenstein! Ora forza, quelli che non sono a proprio agio con questi strumenti dovrebbero fare tutte le domande che gli vengono in mente (non avete idea di quanto io fossi confuso su queste cose all'epoca delle olimpiadi ^^), e qualcuno dovrebbe anche risolvere il caso in cui $x$ è pari.
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Re: Diofanteaz

Messaggio da Drago96 » 13 feb 2014, 19:46

Qualcuno disse che i matematici sono tali in quanto pigri, sommo DarthCrystal :P
Grazie per la spiegazione, immaginavo ci fosse un trucco simile :) (avrei anche potuto pensarci, ma essendo la prima volta me lo perdono)
Anche se mi pare che $-1 $ soddisfi, ed è un'unità; tuttavia non ci sono problemi, perché è un cubo...
E sono il primo che chiede un chiarimento: non posso dire che $\sqrt3\equiv0\pmod3 $ perché sarebbe più o meno la stessa cosa di dire $\sqrt4\equiv0\pmod4 $, giusto? Dato che $3=-(1+2\omega)^2 $, 3 è in realtà il quadrato di un primo, e quindi la sua radice esiste davvero e sicuramente non è divisibile per il proprio quadrato...

Comunque, hai un qualche libro/dispensa da consigliare riguardo le estensioni quadratiche o in generale la teoria algebrica dei numeri? Ti sarei immensamente grato! :D
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Re: Diofanteaz

Messaggio da darkcrystal » 14 feb 2014, 20:28

darkcrystal ha scritto:l'unica radice terza dell'unità
$-1$ non è una radice terza :P... comunque (anche se tu hai certamente capito) probabilmente ero stato un po' troppo sintetico, per cui tento di chiarificare un po'. Le unità in $\mathbb{Z}[\omega]$ (cioè gli elementi invertibili, cioè gli oggetti $a \in \mathbb{Z}[\omega]$ per cui esiste un $b \in \mathbb{Z}[\omega]$ tale che $ab=1$) sono le radici seste dell'unità; nella notazione di sopra, bisognerebbe fare i vari casi per $u$ che varia tra tutte le unità. Tuttavia se per caso c'è una soluzione con $u$ allora posso rimpiazzare
\[
u \mapsto -u, v \mapsto -v, a \mapsto -a, b \mapsto -b
\]
e ottenere un'altra soluzione con $-u$. Quindi le sei radici $1,\zeta,\zeta^2,\zeta^3=-1,\zeta^4,\zeta^5$ possono essere associate a coppie ($1, -1$, $\zeta, -\zeta$, $\zeta^2, -\zeta^2$) e per ogni coppia si può studiare solo uno dei due casi; in questo senso il sistema di Drago aveva "due" casi, perché quello con $u=1$ era già stato trattato e quindi restavano (a meno della riduzione precedente) solo i casi $u=\zeta, u=\zeta^2$.

Secondo punto: perché $3$ non divide $\sqrt{-3}$? Calma e definizioni: un elemento $a=3$ divide un elemento $b=\sqrt{-3}=2\omega+1$ se e solo se esiste un intero di Eisenstein $c$, che scrivo nella forma $d+e\omega$ con $d,e$ interi, tale che $b=ac$, cioè $2\omega+1=3d+3e\omega$. Ma questo è estremamente difficile, visto che in particolare vuol dire $3d=1, 3e=2$: osserva che la definizione di uguaglianza tra due interi di Eisenstein $a_1+b_1 \omega$, $a_2+b_2 \omega$ è $a_1=a_2$ e $b_1=b_2$. Allo stesso modo $4$ non divide $2$ negli interi perché l'equazione $2=4k$ non ha soluzioni intere.

L'altro approccio - che mi sembra essere il tuo - è mostrare che $\sqrt{-3}$ è irriducibile (e questo è ovvio, perché la sua norma è prima), e quindi primo, e chiaramente $\sqrt{-3}=3a$ contraddice la fattorizzazione unica, visto che LHS ha un solo fattore $\sqrt{-3}$ e RHS ne ha almeno 2. Entrambe le dimostrazioni sono valide, ma la seconda è leggermente più pericolosa, nel senso che mi sembra più facile sbagliarsi nel generalizzare questa che nel generalizzare l'altra. (Esempio scemo, il fatto che $1+i | 1-i$ negli interi di Gauss: se scrivi le definizioni è ovvio, ma ad occhio potrebbe sembrare impossibile, perché entrambi hanno norma 2, quindi sono primi, e sembra strano che uno divida l'altro...)


E ora arriviamo alla domanda veramente difficile, i testi di riferimento... non mi ritengo certo un esperto e sarò ben felice se qualcuno vorrà smentire in parte o totalmente quello che sto per scrivere. Tant'è, proverò a dire qualcosa.

In realtà non credo esista una risposta semplice: il modo "giusto" (almeno, quello che al momento viene considerato il modo giusto) di capire queste cose è fare il giro largo dell'algebra astratta. Ora, questo non è completamente necessario, soprattutto per usi olimpici - salvo che almeno il linguaggio degli anelli è veramente inevitabile, se non vuoi soffrire indicibilmente - ma tutti i libri seri prenderanno quella strada. Quel che è peggio, se vuoi studiare queste cose da olimpionico, è che molti testi tendono ad assumere un punto di vista moderno (stile geometria algebrica) che a lungo andare chiarisce moltissime cose, ma all'inizio è praticamente incomprensibile.
Quindi, premesse queste difficoltà e visto che nella vita olimpica uno ha più che altro a che fare con campi quadratici, il primo consiglio è http://www.imomath.com/index.php?options=373. Se poi uno vuole proprio insistere, fra i libri di teoria algebrica dei numeri "universitari" che mi vengono in mente, l'unico probabilmente abbordabile è il Marcus ("Number Fields"; probabilmente solo i primi 3 capitoli, e magari gli enunciati del quinto, sempre tenendo conto che sarà difficile da leggere), che ha anche delle appendici di prerequisiti vari.

Ok, chiudo qui questa risposta chilometrica, e a presto risentirsi :wink:

p.s. La prossima volta che qualcuno mi chiama "sommo" smetto di rispondergli :P. Inoltre dovrebbe essere vietato fare meta-gioco sulle mie risposte :mrgreen:
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Re: Diofanteaz

Messaggio da Drago96 » 14 feb 2014, 22:10

Ti ringrazio moltissimo per la risposta! :D La dispensa su IMOmath è molto carina e ci sono anche alcune diofantee di esempio (ad esempio Fermat xD); il Marcus pare moolto interessante anche se effettivamente a una prima lettura sembra tosto...
Comunque sì, quello che intendevo per $\sqrt{-3}$ era quello... Per l'esempio, dopo un paio di volte che uno ci smanetta e ci inciampa, si ricorda che le unità sono importanti, e che in realtà $1+i=i(1-i)$ :P (che sì, alla fine è scrivere la divisibilità per bene)

Ora attendiamo che qualcuno non troppo sconvolto faccia il caso $x$ pari! :)
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Re: Diofanteaz

Messaggio da FrancescoVeneziano » 14 feb 2014, 22:38

Concordo con l'eccellente darkcrystal: la presentazione migliore per chi intenda affrontare l'argomento in generale passa per il linguaggio, le nozioni e i risultati dell'algebra astratta, e non è adatta né ad un liceale sinceramente interessato ad approfondire l'argomento, né ad un olimpionico che voglia imparare quel tanto che basta per usarlo in gara. Per questo motivo non mi sento di consigliare il Marcus, che, pur tenendo basso il livello di astrazione ed offrendo un sacco di esercizi concreti, prende questa strada.

Per il liceale volenteroso, suggerirei piuttosto il solito Hardy-Wright "An introduction to the theory of numbers", che ha due capitoli sui campi quadratici. L'approccio all'argomento è molto vecchio, ma proprio per questo più accessibile (indeed, verso la fine soffre indicibilmente). In questi due capitoli non fa poi molto, ma è per sempre qualcosa, e poi anche il resto del libro è godibilissimo e non va mai persa occasione di consigliarlo.

Per l'olimpionico spregiudicato invece la cosa migliore da fare è probabilmente cercare qualche dispensa ad hoc come quella già linkata.

In generale, vale sempre la regola che più si vuole andare in profondità, più lenta ed accurata deve essere la partenza. Se vuoi imparare bene come funziona la teoria algebrica dei numeri, e conti di studiare matematica, e non hai un impellente bisogno fisiologico di impararla adesso, è meglio rimandare a quando avrai uno o due anni di università alle spalle e tutti gli strumenti per affrontarla nel migliore dei modi.
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