equazione diofantea a tre incognite

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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BorisM
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equazione diofantea a tre incognite

Messaggio da BorisM » 27 gen 2014, 14:19

Salve a tutti !
Ho iniziato oggi ha studiare le equazioni diofantee. Ho imparato a risolvere equazioni del tipo $ ax+by=c $ per mezzo dell algoritmo di euclide.
Passando agli esercizzi proposti dalla "scheda didattica" ho trovato equazioni diofantee a tre incognite del tipo $ax+by+cz=d$.
In particolare qualcuno saprebbe illustrarmi come l' algoritmo euclideo è applicato a questa equazione: $ 3x+12y-9z=15 $ ???
Grazie mille in anticipo !

Half95
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Re: equazione diofantea a tre incognite

Messaggio da Half95 » 27 gen 2014, 17:29

ho fatto un tentativo con un metodo trovato in giro, ma non mi dà tutte le soluzioni dove è che sbaglio? lo posto:)
innanzitutto semplifichiamo e otteniamo:

$x+4y-3z=5$

poi procediamo in questo modo

$x\equiv5 mod(M.C.D.(4,3))$

$x\equiv0mod1$

per cui x può assumere qualsiasi valore. Poniamo $x=k$

$y=\frac{5+3z}{4}-\frac{k}{4}$

cerchiamo una soluzione: K deve essere divisibile per 4 quindi poniamo $k=4u$ e $z=1$ e allora $y=2-4u$

generalizziamo:

$x=4u$

$z=1+4v$

$y=2-4u+3v$

BorisM
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Re: equazione diofantea a tre incognite

Messaggio da BorisM » 27 gen 2014, 18:59

Half95 ha scritto:ho fatto un tentativo con un metodo trovato in giro, ma non mi dà tutte le soluzioni dove è che sbaglio? lo posto:)
innanzitutto semplifichiamo e otteniamo:

$x+4y-3z=5$

poi procediamo in questo modo

$x\equiv5 mod(M.C.D.(4,3))$

$x\equiv0mod1$

per cui x può assumere qualsiasi valore. Poniamo $x=k$

$y=\frac{5+3z}{4}-\frac{k}{4}$

cerchiamo una soluzione: K deve essere divisibile per 4 quindi poniamo $k=4u$ e $z=1$ e allora $y=2-4u$

generalizziamo:

$x=4u$

$z=1+4v$

$y=2-4u+3v$
scusa la mia ignoranza ma perchè $x\equiv5 mod(M.C.D.(4,3))$ ???

Half95
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Re: equazione diofantea a tre incognite

Messaggio da Half95 » 27 gen 2014, 19:41

BorisM ha scritto:scusa la mia ignoranza ma perchè $x\equiv5 mod(M.C.D.(4,3))$ ???
Perché:

se $x+4y-3z=5$ allora $x+4y-3z\equiv5 mod(M.C.D.(4,3))$

ora $4y\equiv0 mod(M.C.D.(4,3))$ e $-3z\equiv0 mod(M.C.D.(4,3))$ poiché sia 4 che 3 sono divisibili per il loro M.C.D.

quindi in pratica ti ritrovi $x+0+0\equiv5 mod(M.C.D.(4,3))$ e alla fine $x\equiv5 mod(M.C.D.(4,3))$

spero si capisca qualcosa :)

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aetwaf
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Re: equazione diofantea a tre incognite

Messaggio da aetwaf » 28 gen 2014, 16:22

Half95 ha scritto:
$y=\frac{5+3z}{4}-\frac{k}{4}$

cerchiamo una soluzione: K deve essere divisibile per 4 quindi poniamo $k=4u$ e $z=1$ e allora $y=2-4u$
Scusa ma non credo sia necessario avere $k\equiv 0\pmod 4$, tu devi avere $5+3z-k\equiv 0\pmod 4$ che è diverso
Per fare un esempio, prova $z=2,k=3$
Ottieni $y=2$ ma $k\ne 4n$
Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essera contenuta nel margine troppo stretto della pagina

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aetwaf
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Re: equazione diofantea a tre incognite

Messaggio da aetwaf » 28 gen 2014, 16:25

Potresti avere
$z=4m,x=4n+1$
$z=4m+1,x=4n$
$z=4m+2,x=4n+3$
$z=4m+3,x=4n+2$
Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essera contenuta nel margine troppo stretto della pagina

Half95
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Re: equazione diofantea a tre incognite

Messaggio da Half95 » 28 gen 2014, 16:36

aetwaf ha scritto:
Half95 ha scritto:
$y=\frac{5+3z}{4}-\frac{k}{4}$

cerchiamo una soluzione: K deve essere divisibile per 4 quindi poniamo $k=4u$ e $z=1$ e allora $y=2-4u$
Scusa ma non credo sia necessario avere $k\equiv 0\pmod 4$, tu devi avere $5+3z-k\equiv 0\pmod 4$ che è diverso
Per fare un esempio, prova $z=2,k=3$
Ottieni $y=2$ ma $k\ne 4n$
sisi esatto hai ragione sono partito con l' idea di analizzare caso per caso e poi mi sono fermato non so neanche perchè :?

BorisM
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Re: equazione diofantea a tre incognite

Messaggio da BorisM » 28 gen 2014, 21:16

Mi sa che mi devo ripassare un pò di congruenze perchè ci sto diventando matto !! Grazie delle risposte !! Ora provo a fare esercizi simili :)

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