Triangoli equiladrati e quadrati equitrilateri

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
maurizio43
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Re: Triangoli equiladrati e quadrati equitrilateri

Messaggio da maurizio43 » 20 gen 2014, 23:53

Mio caro Gottinger95, il mio cervello antico ha sempre solo avuto a che fare con interi al più gaussiani….
Mi ci vorrebbe troppo tempo per cercare < gli occhiali giusti > per mettere a fuoco il tuo metodo e ragionarci dettagliatamente in sintonia .
Ma si intuisce perfettamente che la sintesi e la semplicità dei tuoi passaggi costituiscono una dimostrazione bella e intrigante .
Chapeau !

Gottinger95
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Re: Triangoli equiladrati e quadrati equitrilateri

Messaggio da Gottinger95 » 21 gen 2014, 00:16

Sono ben convinto invece che hai tutta la dimestichezza per farci la mano e abituarci l'occhio! :D

L'idea di base è semplice: le radici \(n\)-esime dell'unità rappresentano una rotazione di un angolo \(2 \pi/n\) ( se non ti è noto/chiaro, sono disposto a spiegarmi più nel dettaglio). Quindi se prendo una radice cubica, \(\omega\), e la moltiplico per un intero di gauss \(x\), ottengo il vettore dell'intero \(x\) ruotato di 120° nel piano cartesiano. Allo stesso modo, se prendo una radice quarta dell'unità, \(i\), essa rappresenta una rotazione di 90° gradi del vettore per cui la moltiplico.

Visto che ho notato che ti piace giocherellare con le lettere e i numerelli (ed è quello che ti permette - probabilmente - di sfruttare al massimo le conoscenze che hai), puoi verificare tu stesso che invece \(1- \omega\) è una rotazione di 60° gradi.

Detto questo, il reticolo triangolare può essere rappresentato dagli "interi di Eisenstein" della forma \(a + (1-\omega)b\), che dal punto di vista algebrico sono identici ai numeri della forma \(a+ \omega b\). Come si fa un quadrato su un reticolo triangolare? Ci devono essere due punti sul reticolo che si ottengono ruotando di 90°. Detti \(a+ \omega b\) e \(c+\omega d\) questi punti sul reticolo triangolare (che possiamo anche chiamare interi di eisenstein da adesso in poi), deve valere
\((a+ \omega b)i = c+ \omega d\)
E rimaneggiando algebricamente otteniamo
\( (d-bi)(1-\omega) = (d+c)-(a+b)i \)
Adesso fermiamoci e interpretiamolo geometricamente. I numeri \(d-bi\) e \( (d+c) -(a+b)i\) sono interi di Gauss, che corrispondono a dei punti sul reticolo quadrato. E ohibò, abbiam detto che \(1-\omega\) è una rotazione di 60° gradi! Ma questo significa che ci sono due punti sul reticolo quadrato ottenibili per rotazione di 60° gradi, ossia esiste un triangolo equilatero sul reticolo quadrato :D

Spero di essere stato chiaro! Se avessi ulteriori dubbi, non esitare a chiedere.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

maurizio43
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Re: Triangoli equiladrati e quadrati equitrilateri

Messaggio da maurizio43 » 21 gen 2014, 11:10

Sei stato chiarissimo e gentilissimo.
E ieri sera,in realtà, per l' 80%-90% avevo (faticosamente)imbastito schemi grafici con ragionamenti del tipo che hai postato.
Per il momento nei miei scarabocchi rimane ancora qualche discrepanza, ma penso che se ne potrà venire a capo.
Resta il fatto che il mio"balbettio concettuale" in proposito mi nega certo la confidenza per potere utilizzare agilmente il tutto come strumento di lavoro.
Mi limito al plauso, e non ti preoccupare delle mie carenze : vai avanti sul tuo cammino, ben lanciato come sei :)

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