Triarii generalizzato

[Dandav]

Ispirato al post qui sotto...
Dati $p, q$ numeri primi e $ n, m$ interi positivi,risolvere l'equazione $$(p-q)^n=(p+q)^m$$

Edit: scusate il cambiamento di testo ma quel $k$ lo rendeva un esercizio assai improbabile...

[aetwaf]

Mi blocco alla fine, metto il mio ragionamento così magari mi date qualche hint
Se $k\ne 0\pmod 3$ non ci sono soluzioni per $p\equiv q\ne 0\pmod 3$ nè per $p\equiv 1,q\equiv 2\pmod 3$ e viceversa.
Quindi o $p=3$ o $q=3$.
Consideriamo $p>q$, se $p=3$ abbiamo $q=2$ e $k=5^m$.
Se $q=3$ abbiamo $k(p-3)^n=(p+3)^m$.
Ma allora dovremo avere che se $p-3\equiv 0\pmod r$ anche $p+3\equiv 0\pmod r$ con $r\in \mathbb P$ da cui $6\equiv 0\pmod r$.
Quindi $r=2$ o $r=3$ quindi $p-3=2^x3^y$ e $p=2^x3^y+3$
Ma $p\nmid 3$ quindi $p=2^x+3$

Le soluzioni dovrebbero essere
$p=3$, $q=2$, $n\in \mathbb N$, $m\in \mathbb N$, $k=5^m$
$p=2^x+3\in \mathbb P$, $q=3$, $n\in \mathbb N$, $m\in \mathbb N\ge nx$, $k=2^{m-n}(2^{x-1}+3)^m$
Purtroppo è incompleta, infatti non riesco a stabilire quando $2^x+3=p\in \mathbb P$
Suggerimenti?

[Dandav]

Ti blocchi alla fine... Perchè non c'è modo di andare avanti suppongo! Errore mio, scusate, controllo se si può salvare qualcosa!

edit: Ok, a morte la $k$, scusate se vi ho fatto buttare via tempo... Così dovrebbe funzionare!

[aetwaf]

In questo caso viene
Se $ p=3 $ allora $ q=2 $
Resta $5^m=1, m=0 $
Se $ q=3 $ diventa $ (p-3)^n=(p+3)^m $
Quindi per lo stesso motivo di sopra resta $6\equiv 0\pmod r $ da cui $ r=2 $
Quindi $ p-3=2^x $ e $ p+3=2^y $
$ p=5 $ unica soluzione
Le soluzioni sono
$ p=3 $, $ q=2 $, $ n\in \mathbb N $, $ m=0 $
$ p=5 $, $ q=3 $, $ m\in \mathbb N$, $ n=3m$

Edit
Modificati $m=1$, $n=3$ in $m\in \mathbb N$, $n=3m$

[Dandav]

Sì, giusta, unica cosa $0$ non è positivo... Se no avremmo anche $n=m=0$,e $p, q$ a caso