169. $p^n=x^3+y^3$

[Triarii]

Trovare tutti i $p$ primi per i quali esistono degli interi positivi $n, x, y$ tali che
$$p^n=x^3+y^3$$
Edit: scusatemi ma come mi è stato fatto notare mi ero dimenticato di mettere il numerino

[scambret]

$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=p^n$$

Supponiamo che $x^2-xy+y^2=1$. Per AM-GM otteniamo $xy \leq 1$, assurdo, dunque $p$ divide $x^2-xy+y^2$ e anche $p$ divide $x+y$

Da qui si conclude in due modi: o per LTE o si fa il conto, cioè $p \mid x+y$ e $p \mid (x+y)^2-3xy$ dunque $p=3$.
Esempio facile è $n=2$, $x=2$ e $y=1$.

[Triarii]

Dunque, $xy\le 1$ non mi pare assurdo . Poi nella seconda parte potresti spiegare meglio perchè necessariamente $p=3$? Perchè o stai facendo a mente un passaggio (probabile) oppure ti sei dimenticato qualcosa.
Comunque sia manca ancora qualcosa alla tua soluzione

[scambret]

Si ok andavo di fretta, ora ho acceso il PC, la scrivo corretta

Sia $d$ il massimo comun divisore di $x$ e $y$. Pongo $x=ad$ e $y=bd$. Allora la diofantea è

$$p^n=d^3(a^3+b^3)$$

Ovviamente $p \nmid a$ e $p \nmid b$, ma $p \mid a^3+b^3$. Ora

- suppongo $a^2-ab+b^2=1$ allora necessariamente si deve avere (per AM-GM) che $ab \leq 1$ e dunque $a=b=1$, ma allora $p=2$. (L esempio banale è porre $x=y=n=1$).
- ora suppongo $p \mid a^2-ab+b^2$. Dato che $a+b \geq 2$, allora $p \mid a+b$. Allora dato che $p \mid a^2-ab+b^2$ dunque $p \mid (a+b)^2-3ab$. Dato che $a+b \equiv 0 \pmod p$ dunque $p \mid 3ab$. Dato che $p \nmid a$ e $p \nmid b$ allora $p=3$.

[Sir Yussen]

Nel trovare il primo $p$ posto una soluzione alternativa a quella di scambret.

$$ p^n = (x+y)(x^2 -xy + y^2) $$

Supponiamo che $p$ non divida $x$, sennò deve dividere anche $y$, e a questo punto dall'equazione si semplificherebbe un bel $p^3$, tornando ad un caso identico a prima.
$p |x+y \Rightarrow x \equiv - y \pmod{p}$. Sostituiamo questa congruenza nel secondo termine del RHS, ottenendo: $3x^2 \equiv 0 \pmod{p} \Rightarrow p=3$.
Poi vabbeh, bisogna trattare il caso in cui $x^2 - xy + y^2 = 1$, che ci restituisce anche un $p=2$.
Amen.

[Triarii]

Mi sembrano corrette entrambe. Decidete voi chi posta il prossimo

[Sir Yussen]

Scambret ovviamente, il mio post voleva solo essere un di più