168. Dalla fredda Russia

[Sir Yussen]

Siano $a,b,c$ interi non negativi distinti tra loro. Dimostrare che:

$$ (ab+1,bc+1,ac+1) \leq \displaystyle\frac{a+b+c}{3} $$

[Triarii]

Non ne sono sicuro, ma ci provo lo stesso...
Poichè a, b, c sono distinti, wlog $a>b>c$
Sia $d=(ab+1, bc+1, ac+1)$. Valgono le seguenti relazioni di congruenza
$\displaystyle \\ ab\equiv -1 (d)
\displaystyle \\ bc\equiv -1 (d)
\displaystyle \\ ac\equiv -1 (d)$
da cui $a\equiv b \equiv c (d)$. (lecito dividere perchè tanto $a, b, c$ sono coprimi con $d$)
Quindi $b=c+nd$ e $a=b+md=c+(m+n)d$ per qualche $m, n$ intero positivo (altrimenti se uno di essi fosse nullo l'ipotesi di $a\ne b\ne c$).
Dunque riscriviamo $\frac {a+b+c} {3}$ come $\frac {3c+(m+2n)d} {3} = c+\frac {(m+2n)d} {3}$
La quantità $(m+2n)d$ tuttavia è maggiore o uguale a 3d, in quanto $m, n$ valgono almeno $1$. Quindi otteniamo $\frac {a+b+c} {3} =c+d\frac {m+2n} {3} \ge c+d\ge d$ che è la tesi.
Il segno di uguale vale se $a=2, b=1, c=0$ (ossia $d=1$, $m=n=1$)

[Dandav]

Edit: Non avevo visto il post di Triarii

[Sir Yussen]

Bene triarii, a te la parola.

P.S. Quando scrivi le frazioni, ti consiglio di usare \displaystyle davanti a \frac (ovvero \displaystyle\frac ) in modo da non farle venire minuscole!

[Triarii]

Ecco come fate tutti a non far venire le frazioni minuscole Grazie del consiglio
Fai conto che prima quando la frazione veniva troppo piccola cambiavo la grandezza del testo, col problema che poi la frazione era di dimensioni normali, mentre il resto era abnorme

[Xamog]

Quando scrivi le frazioni, ti consiglio di usare \displaystyle davanti a \frac (ovvero \displaystyle\frac )

E per i pigri basta un \dfrac ...