168. Dalla fredda Russia

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Sir Yussen
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168. Dalla fredda Russia

Messaggio da Sir Yussen » 28 dic 2013, 14:45

Siano $a,b,c$ interi non negativi distinti tra loro. Dimostrare che:

$$ (ab+1,bc+1,ac+1) \leq \displaystyle\frac{a+b+c}{3} $$

Triarii
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Re: 168. Dalla fredda Russia

Messaggio da Triarii » 28 dic 2013, 15:37

Non ne sono sicuro, ma ci provo lo stesso...
Poichè a, b, c sono distinti, wlog $a>b>c$
Sia $d=(ab+1, bc+1, ac+1)$. Valgono le seguenti relazioni di congruenza
$\displaystyle \\ ab\equiv -1 (d)
\displaystyle \\ bc\equiv -1 (d)
\displaystyle \\ ac\equiv -1 (d)$
da cui $a\equiv b \equiv c (d)$. (lecito dividere perchè tanto $a, b, c$ sono coprimi con $d$)
Quindi $b=c+nd$ e $a=b+md=c+(m+n)d$ per qualche $m, n$ intero positivo (altrimenti se uno di essi fosse nullo l'ipotesi di $a\ne b\ne c$).
Dunque riscriviamo $\frac {a+b+c} {3}$ come $\frac {3c+(m+2n)d} {3} = c+\frac {(m+2n)d} {3}$
La quantità $(m+2n)d$ tuttavia è maggiore o uguale a 3d, in quanto $m, n$ valgono almeno $1$. Quindi otteniamo $\frac {a+b+c} {3} =c+d\frac {m+2n} {3} \ge c+d\ge d$ che è la tesi.
Il segno di uguale vale se $a=2, b=1, c=0$ (ossia $d=1$, $m=n=1$)
Ultima modifica di Triarii il 28 dic 2013, 15:51, modificato 2 volte in totale.
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Dandav
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Re: 168. Dalla fredda Russia

Messaggio da Dandav » 28 dic 2013, 15:47

Edit: Non avevo visto il post di Triarii

Sir Yussen
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Re: 168. Dalla fredda Russia

Messaggio da Sir Yussen » 28 dic 2013, 15:54

Bene triarii, a te la parola. :)

P.S. Quando scrivi le frazioni, ti consiglio di usare \displaystyle davanti a \frac (ovvero \displaystyle\frac ) in modo da non farle venire minuscole!

Triarii
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Re: 168. Dalla fredda Russia

Messaggio da Triarii » 28 dic 2013, 16:04

Ecco come fate tutti a non far venire le frazioni minuscole :o Grazie del consiglio :D
Fai conto che prima quando la frazione veniva troppo piccola cambiavo la grandezza del testo, col problema che poi la frazione era di dimensioni normali, mentre il resto era abnorme :mrgreen:
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Xamog
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Re: 168. Dalla fredda Russia

Messaggio da Xamog » 07 gen 2014, 19:06

Sir Yussen ha scritto:Quando scrivi le frazioni, ti consiglio di usare \displaystyle davanti a \frac (ovvero \displaystyle\frac )
E per i pigri basta un \dfrac ... 8)
Glory is like a circle in the water,
Which never ceaseth to enlarge itself,
Till by broad spreading it disperses to naught.

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