164-$ax^p+by^p$
Re: 164-$ax^p+by^p$
Molto meglio, mi pare fili tutto chiaramente
The only goal of science is the honor of the human spirit.
-
- Messaggi: 486
- Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52
Re: 164-$ax^p+by^p$
Ne ho un'altra, sostanzialmente diversa, che non so se è corretta Ma se è corretta, allora è un po' più forte, e dice che c'è almeno un numero ogni \((p-1)^2\) che non è generabile. Lo proveremo per \(p>3\). Per \(p=2\) ho un metodo popo orendo ma abbastanza standard (lo riguardo e se non ho preso cantonate lo scrivo), per \(p=3\) ci penso (me ne sono accorto adesso).
1. Se magari esistesse..Se esiste \(q < (p-1)^2\) primo tale che \(q \equiv 1 \pmod{p}\), allora \(ax^p+by^p\) non copre tutti i numeri modulo \(q\).
Sia \(q = tp+1\). I residui \(p\)-esimi (compreso lo 0) modulo \(q\) sono \(t+1\), quindi quelli generati da \(ax^p+by^p\) sono al massimo \((t+1)^2\). D'altronde
\( (t+1)^2 < q \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ t^2+2t+1 < tp+1 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ t < p-2 \ \ \ \Leftrightarrow q=tp+1 < (p-1)^2\)
Perciò i numeri generabili sono meno dei numeri modulo \(q\).
2. ..Est, est, est! Per \(p>3\), esiste un \(t < (p-2)\) tale che \(tp+1\) è primo.
Infatti, un numero tra \(p+1\) e \( (p-1)^2\) deve avere almeno un fattore più piccolo di \(p\).Siano \(p_1, \ldots, p_{k-1}\) i numeri primi precedenti a \(p\), e sia \(A_k = \{1, \ldots, k-1\}\). Affinchè un numero non sia primo, deve valere per qualche \(i<k\) che
\( t \equiv s_i \pmod{ p_i} \), dove \(ps_i \equiv -1 \pmod{p_i}\)
I numeri \(t<p-2\) congrui a un certo \(s_i \pmod{p_i}\) sono al massimo \( (p-3)/p_i\). Con il principio di inclusione esclusione, ricaviamo che la quantità di numeri \(t\) tali che \(tp+1\) che non è divisibile per nessun primo minore di \(p_k \) è almeno
\( \displaystyle (p-3) \left ( 1- \sum_{ i \in A_k} \frac{1}{p_i} + \sum_{i \neq j \in A_k} \frac{1}{p_i p_j} + \ldots \right ) = (p-3)\prod_{i=1}^{k-1} \left (1- \frac{1}{p_i} \right ) = (p-3) \prod_{i=1}^{k-1} \left (\frac{p_i-1}{p_i} \right ) > (p-3) \prod_{i=1}^{k-1} \left ( \frac{i}{i+1} \right ) = \frac{p-3}{k} \)
che per \(p>5\) è maggiore di 1. Per \(p=5\) invece troviamo che 11 soddisfa.
1. Se magari esistesse..Se esiste \(q < (p-1)^2\) primo tale che \(q \equiv 1 \pmod{p}\), allora \(ax^p+by^p\) non copre tutti i numeri modulo \(q\).
Sia \(q = tp+1\). I residui \(p\)-esimi (compreso lo 0) modulo \(q\) sono \(t+1\), quindi quelli generati da \(ax^p+by^p\) sono al massimo \((t+1)^2\). D'altronde
\( (t+1)^2 < q \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ t^2+2t+1 < tp+1 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ t < p-2 \ \ \ \Leftrightarrow q=tp+1 < (p-1)^2\)
Perciò i numeri generabili sono meno dei numeri modulo \(q\).
2. ..Est, est, est! Per \(p>3\), esiste un \(t < (p-2)\) tale che \(tp+1\) è primo.
Infatti, un numero tra \(p+1\) e \( (p-1)^2\) deve avere almeno un fattore più piccolo di \(p\).Siano \(p_1, \ldots, p_{k-1}\) i numeri primi precedenti a \(p\), e sia \(A_k = \{1, \ldots, k-1\}\). Affinchè un numero non sia primo, deve valere per qualche \(i<k\) che
\( t \equiv s_i \pmod{ p_i} \), dove \(ps_i \equiv -1 \pmod{p_i}\)
I numeri \(t<p-2\) congrui a un certo \(s_i \pmod{p_i}\) sono al massimo \( (p-3)/p_i\). Con il principio di inclusione esclusione, ricaviamo che la quantità di numeri \(t\) tali che \(tp+1\) che non è divisibile per nessun primo minore di \(p_k \) è almeno
\( \displaystyle (p-3) \left ( 1- \sum_{ i \in A_k} \frac{1}{p_i} + \sum_{i \neq j \in A_k} \frac{1}{p_i p_j} + \ldots \right ) = (p-3)\prod_{i=1}^{k-1} \left (1- \frac{1}{p_i} \right ) = (p-3) \prod_{i=1}^{k-1} \left (\frac{p_i-1}{p_i} \right ) > (p-3) \prod_{i=1}^{k-1} \left ( \frac{i}{i+1} \right ) = \frac{p-3}{k} \)
che per \(p>5\) è maggiore di 1. Per \(p=5\) invece troviamo che 11 soddisfa.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: 164-$ax^p+by^p$
@Gottinger: mi potresti chiarire il passaggio quando dici che ci sono t+1 residui p-esimi modulo q? (cioè, credo che ci incastri col fatto che fai variare t e che , ma oltre non riesco a vedere )
"We' Inge!"
LTE4LYF
LTE4LYF
-
- Messaggi: 486
- Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52
Re: 164-$ax^p+by^p$
Prendi un generatore \(g\) modulo \(q\). I residui \(p\)-esimi coprimi con \(q\) sono tutti e soli quelli della forma \( g^{s} \pmod{q} \) con\(s \equiv pk \pmod{q-1} \) per qualche \(k\) (perchè gli esponenti si valutano \(\pmod{q-1}\) ). Visto che \(p \mid q-1\), abbiamo
\( s \equiv pk \pmod{q-1} \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ s/p \equiv k \pmod{ (q-1)/p} \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ s/p \equiv k \pmod{t} \)
perciò le possibili scelte di \(k\) sono esattamente \(t\), i residui modulo \(t\). In più c'è da aggiungere lo 0 che all'inizio avevamo escluso, perciò in tutto sono \(t+1\). Spero di essermi spiegato! E buon natale
\( s \equiv pk \pmod{q-1} \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ s/p \equiv k \pmod{ (q-1)/p} \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ s/p \equiv k \pmod{t} \)
perciò le possibili scelte di \(k\) sono esattamente \(t\), i residui modulo \(t\). In più c'è da aggiungere lo 0 che all'inizio avevamo escluso, perciò in tutto sono \(t+1\). Spero di essermi spiegato! E buon natale
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: 164-$ax^p+by^p$
Ok, grazie mille, tutto chiaro (mod q-1 è dovuto al PTF )
Buon natale anche a te e a tutti gli utenti
Buon natale anche a te e a tutti gli utenti
"We' Inge!"
LTE4LYF
LTE4LYF
Re: 164-$ax^p+by^p$
Non proprio: se per esempio $s_i=2$, $p=11$, $p_i=3$ allora il numero di interi $1\le t<p-2$ tali che $t \equiv s_i \pmod{p_i}$ non è minore di $\frac{p-3}{p_i}$Gottinger95 ha scritto:I numeri \(t<p-2\) congrui a un certo \(s_i \pmod{p_i}\) sono al massimo \( (p-3)/p_i\).
The only goal of science is the honor of the human spirit.
-
- Messaggi: 486
- Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52
Re: 164-$ax^p+by^p$
è vero, ci va messo un +1, ma per fortuna nel principio di inclusione-esclusione viene \( \binom{k}{0} - \binom{k}{1} + \ldots +(-1)^{k} \binom{k}{k} = (1-1)^k = 0\), quindi nel complesso non contribuisce. In realtà tutto ciò è falso, perchè mi sono accorto di aver dimenticato le parti intere D: non so se posso recuperare!
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: 164-$ax^p+by^p$
Barone!Gottinger95 ha scritto:In realtà tutto ciò è falso, perchè mi sono accorto di aver dimenticato le parti intere D: non so se posso recuperare!
Comunque dovrei andare col prossimo? xD (Il problema è che non trovo un problema... xD)
Re: 164-$ax^p+by^p$
Visto che in fondo sono buono, ti avviso che è una congettura aperta. Tutto quel che si sa ad ora è $q<Cp^5$.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: 164-$ax^p+by^p$
Sapevo che si erano fermati all'esponente $8$ :O
Meglio, assumendo l'ipotesi di Riemann si potrebbe anche mostrare che il piu' piccolo primo $q$ tale che $n\mid q-1$ verifica $q<70n\ln^2n$ definitivamente (per via di cannoni che non so maneggiare); non ho detto niente sopra perchè tutti i lavori che ho trovato non assumevano $n$ primo, in realtà speravo anch'io che il bound potesse essere migliorato in questo caso particolare, visto che era la strada che avevo iniziato anch'io, inutilmente..
Xxsteph, vai pure!
Meglio, assumendo l'ipotesi di Riemann si potrebbe anche mostrare che il piu' piccolo primo $q$ tale che $n\mid q-1$ verifica $q<70n\ln^2n$ definitivamente (per via di cannoni che non so maneggiare); non ho detto niente sopra perchè tutti i lavori che ho trovato non assumevano $n$ primo, in realtà speravo anch'io che il bound potesse essere migliorato in questo caso particolare, visto che era la strada che avevo iniziato anch'io, inutilmente..
Xxsteph, vai pure!
The only goal of science is the honor of the human spirit.