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Trovare tutte le coppie di interi $x,y$ tali che $2x^2+3$ divide $y^2-2$.

Non so se sia giusta, mi pare troppo facile...
Sia $p$ un generico primo che divide $2x^2+3$, allora per ipotesi deve dividere anche $y^2-2$.
Riscrivendo, possiamo dire che:
$$y^2\equiv 2 \pmod p$$
ovvero $2$ è un residuo quadratico modulo $p$, quindi per un fatto noto deve valere $p\equiv \pm 1 \pmod 8$.
Allora ogni fattore primo di $2x^2+3$ deve essere necessariamente di quella forma, ma moltiplicando fra loro tanti $1$ e $-1$ si ottiene forzatamente che $2x^2+3\equiv \pm 1 \pmod 8$.
Ricordando che i residui quadratici modulo $8$ sono solo $0,1,4$, sostituisco, verificando le relazioni:
$2(0)+3\equiv 3 \pmod 8\not\equiv \pm1 \pmod 8$ assurdo!
$2(1)+3\equiv 5 \pmod 8\not\equiv \pm1 \pmod 8$ assurdo!
$2(4)+3\equiv 3 \pmod 8\not\equiv \pm1 \pmod 8$ assurdo!
E dunque non ci sono coppie $x,y$ che soddisfino la relazione di partenza.

Molto bene

Lasker ha scritto: ovvero $2$ è un residuo quadratico modulo $p$, quindi per un fatto noto deve valere $p\equiv \pm 1 \pmod 8$.

ehm mi rendo conto che deve trattarsi di una cosa semplice ma.. cioè? potresti spiegare meglio come si arriva a $p\equiv \pm 1 \pmod 8$ ? grazie..

Guarda qui.

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Capito, grazie!

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