Somma di potenze $q$-esime mod $p$

[jordan]

Siano fissati un reale $C$ maggiore di $1$ e un primo $q$. E' vero che se $p$ è un primo sufficientemente grande tale che $q\mid p-1$ allora il numero di coppie $(x,y) \in \{0,1,\ldots,p-1\}^2$ tali che $$x^q+y^q\equiv 1 \pmod p$$ è minore di $Cp$?


Ps. Non conosco la soluzione del problema; credo soltanto che la risposta sia affermativa visto che vale per $q=2$ e $q=3$.. idee?

[FrancescoVeneziano]

Ora mi metto a pensare ad una dimostrazione elementare, ma intanto permettimi di dire che, se $q>2$ e chiami $N_q'(p)$ il numero di coppie che cerchi, si può dimostrare che
$\left|N_q'(p)-(p-q+1)\right|\leq (q-1)(q-2)\sqrt{p},$
quindi la risposta è affermativa, e probabilmente per questa curva in particolare si può dire anche di piú.

[jordan]

Grazie della risposta! Non so se esiste una dimostrazione elementare, come hai fatto te?

[FrancescoVeneziano]

La disuguaglianza che ho scritto si ottiene applicando alla curva x^q+y^q=1 questo famoso bound di Hasse-Weil che segue da alcune congetture di Weil poi dimostrate da Deligne (dopo aver dato le giuste definizioni, l'analogo per campi di funzioni di curve della congettura di Riemann).

In realtà, per questa curva specifica il medesimo bound era già stato dimostrato da Davenport e Hasse, ma la dimostrazione è comunque piuttosto complicata (ed in tedesco…).

Quanto a migliorarlo, ci sono disuguaglianze piú strette, ma solo per alcuni range di p non troppo grandi. A q fissato e p che va ad infinito, $\sqrt{p}$ dovrebbe essere l'ordine giusto.

In conclusione: non credo ci siano dimostrazioni elementari della disuguaglianza che ho scritto (che segue da un risultato molto generale), né modi di migliorarla per questa curva specifica.
Potrebbero sempre esserci dimostrazioni elementari della versione piú debole che hai enunciato tu.

[jordan]

Cerchero' queste dimostrazioni, grazie delle references! Con questo risultato comunque si potrebbe rimuovere l'ipotesi che $ab$ è pari, qui

[darkcrystal]

Post semi-non-elementare, ma comunque più elementare di Hasse-Weil. E potrei stare prendendo una cantonata.

Se uno si accontenta di un bound meno preciso (ma che comunque implica quello nel post originale), sia questo problema che l'altro che hai messo seguono da una proprietà tutto sommato abbastanza innocua delle somme di Gauss.
Allora, sia $\tau$ un carattere additivo non banale di $\mathbb{F}_p$ (cioè un morfismo di gruppi non costante $(\mathbb{F}_p,+) \to \overline{\mathbb{Q}}^*$): abbiamo che per ogni $b \neq 0 \pmod p$
\[
\left| \sum_{x \in \mathbb{F}_p} \psi(b x^m)\right| \leq (m-1) p^{1/2}.
\]

Accettiamo per un attimo questo fatto. Notiamo inoltre che $\sum_{\psi \mbox{ carattere additivo}} \psi(x)$ è $p$ se $x=0$ e $0$ altrimenti (per chi ha capito cos'è un carattere additivo, questo è un esercizio non troppo difficile). Sia allora $N$ il numero delle soluzioni a $x^q+y^q-z^{p-1}$. Abbiamo
\[
Np = \sum_{x,y,z \in \mathbb{F}_p} \sum_{\psi \mbox{ carattere additivo}} \psi(x^q+y^q-z^{p-1}) =
\]
\[
= \sum_{\psi \mbox{ carattere additivo}} \sum_{x,y,z \in \mathbb{F}_p} \psi(x^q+y^q-z^{p-1}) = p^3 + \sum_{\psi \mbox{ carattere additivo non banale}} \sum_{x,y,z \in \mathbb{F}_p} \psi(x^q+y^q-z^{p-1})
\]
\[
= p^3 + \sum_{\psi \mbox{ carattere additivo non banale}} \sum_{x,y,z \in \mathbb{F}_p} \psi(x^q)\psi(y^q)\psi(-1 \cdot z^{p-1}).
\]

In particolare,
\[
\left|Np-p^3 \right| \leq \sum_{\psi \mbox{ carattere additivo non banale}} \left| \sum_{x,y,z \in \mathbb{F}_p} \psi(x^q)\psi(y^q)\psi(-1 \cdot z^{p-1})\right| \leq (p-1)(q^2)p^{3/2},
\]
e dividendo per $p$ trovo $|N-p^2| \leq C p^{3/2}$.
Per l'ultima disuguaglianza basta notare che quella somma si spezza come prodotto di tre somme, ognuna delle quali coinvolge solo $x,y$ o $z$.

Ora, siccome le soluzioni con $z=0$ sono al più $C' p$, segue che per $p$ abbastanza grande le soluzioni con $z \neq 0$ sono una cosa del tipo $p^2 + \mathcal{O}(p^{3/2})$; siccome il valore di $z$ non conta un tubo, devo ancora dividere per $p-1$, e quindi ottengo che il numero di soluzioni distinte alla tua equazione è dell'ordine di $p + \mathcal{O}(p^{1/2})$.

Il bound iniziale segue dalla seguente proprietà delle somme di Gauss: sia $\psi$ un carattere additivo non banale e $\chi$ un carattere moltiplicativo non banale. Allora il modulo di
\[
\tau(\chi,\psi) = \sum_{x \in \mathbb{F}_p^*} \chi(x) \psi(x)
\]
è $p^{1/2}$: questo si dimostra scrivendo $\tau(\chi,\psi)$ per il suo complesso coniugato e riarrangiando le somme. Da lì, con un po' di lavoro (ma non ho il tempo di scrivere tutto qui e ora), si arriva al bound iniziale (ma non è davvero niente di complicato, sono più che altro manipolazioni di sommatorie)