$p \neq 2^x-3^y$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$p \neq 2^x-3^y$

Messaggio da jordan » 10 set 2013, 23:09

a) Mostrare che esistono infiniti primi $p$ tali che $p \neq 2^x-3^y$ per qualunque scelta di interi $x,y \ge 0$. Se necessario, potete dare per buono il Teorema di Dirichlet..

b) Mostrare con metodi elementari che esistono infiniti primi $p$ tali che $p \neq 3^x-2^y$ per qualunque scelta di interi $x,y$.
Ultima modifica di jordan il 11 set 2013, 17:32, modificato 1 volta in totale.
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Gulliver
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Re: $p \neq 2^x-3^y$

Messaggio da Gulliver » 11 set 2013, 12:16

A parte 4-1=3, quei numeri sono sempre -3 o -1 modulo 8( per x>2, $2^x \equiv 0 \pmod 8$ e $3^y \equiv 1 \pmod 8$ o $3^y \equiv 3 \pmod 8$). Quindi se fossero definitivamente coincidenti con l'insieme dei primi, ciò sarebbe in contrasto col teorema di Dirichlet applicato sia ad 1 che a 3(anzi basta applicarlo ad 1, così la soluzione è elementare, in quanto serve solo l'argomento con i polinomi ciclotomici).

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Re: $p \neq 2^x-3^y$

Messaggio da <enigma> » 11 set 2013, 13:03

A proposito di cannoni: è una facile conseguenza di questo. Anzi, il teorema di Baker dimostra la tesi non solo per i numeri primi ma per qualsiasi sequenza con densità $\gg x^{1-\tau}$ per qualche costante assoluta $\tau>0$ fornita dal teorema (che non saprei ricavare, qualcuno esperto in teoria computazionale della trascendenza ha voglia?).
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jordan
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Re: $p \neq 2^x-3^y$

Messaggio da jordan » 11 set 2013, 16:26

Gulliver ha scritto:A parte 4-1=3, quei numeri sono sempre -3 o -1 modulo 8
No, non c'è il vincolo $x \ge 3$..

@enigma: sì, esatto.
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Re: $p \neq 2^x-3^y$

Messaggio da <enigma> » 11 set 2013, 16:41

In effetti è talmente buono che si può prendere $\tau=1-(5,87 \cdot 10^8)^{-1}$... helluva good shit bro
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Re: $p \neq 2^x-3^y$

Messaggio da Gulliver » 11 set 2013, 17:15

jordan ha scritto:
Gulliver ha scritto:A parte 4-1=3, quei numeri sono sempre -3 o -1 modulo 8
No, non c'è il vincolo $x \ge 3$..
Non ho capito. Per x=2, x=1, x=0, c'è un numero finito di primi positivi che è di quella forma. Da lì in poi vale quello che ho detto. Non ho mai detto che c'è quel vincolo e dimmi più esplicitamente cosa secondo te non va. :roll:

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jordan
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Re: $p \neq 2^x-3^y$

Messaggio da jordan » 11 set 2013, 17:31

Hai ragione, scusa. Aggiungo la seconda parte dell'esercizio.
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