Furto su Giove

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Loara
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Furto su Giove

Messaggio da Loara » 09 set 2013, 15:44

Urowyn, l'alieno più ricco di Giove, è stato derubato dalla banda Gilfyx, composta da $ n $ membri. La banda, arrivata nel suo covo segreto, deposita il bottino, che è composto da sole monete del valore di 1 Gild (la moneta in uso su Giove) ciascuna. Data l'ora tarda, la banda Gilfyx rimanda la spartizione del bottino al giorno dopo, e ognuno ritorna nella propria casa. Durante la notte però un membro della Gilfyx ritornò da solo nel covo e, non fidandosi degli altri, volle prendere la sua parte di bottino. Divise allora tutto il bottino in $ n $ parti uguali, se ne prese una e ritornò a casa con la sua parte. Appena se ne andò, un'altro membro della banda ritornò nel covo sempre per prendersi la sua parte. Ma dopo aver diviso il bottino in $ n $ parti uguali si accorse che rimaneva 1 moneta da 1 Gild, che si apprestò ad intascare. Uscito dal covo con la sua parte, un terzo membro della banda per il medesimo motivo entrò nel covo e divise il bottino rimanente in $ n $ parti uguali, ma questa volta rimanevano 2 monete, che intascò comunque. Così per tutta la notte ciascun membro entrò nel covo prendendo la propria parte del bottino, e le monete di resto ad ogni divisione aumentavano sempre, fino ad $ n-1 $ per l'$ n $-esimo membro della banda. La mattina dopo la banda Gilfyx si riunì al covo, trovando solo $ 559872 $ Gild, ma siccome ognuno aveva preso la sua parte nessuno disse nulla. Ma prima che iniziasse la spartizione la polizia spaziale fece irruzione e arrestò la banda. Se durante la notte ciascun membro è entrato nel covo una ed una sola volta per prendere la propria parte, qual'era il bottino iniziale e quanti sono i membri della banda Gilfyx se per tentare il colpo erano necessari almeno $ 5 $ alieni?
$ 210^2+211^2+212^2+213^2+214^2+215^2+216^2+217^2+218^2+219^2+220^2=\\ =221^2+222^2+223^2+224^2+225^2+226^2+227^2+228^2+229^2+230^2\\ 210=2*3*5*7 $

enrico_s
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Re: Furto su Giove

Messaggio da enrico_s » 10 set 2013, 15:14

Facendo un ragionamento a ritroso noto che prima che l'ultimo ladro prendesse la sua parte, i soldi rimanenti erano
$ 559872\cdot \frac{n}{n-1} + n-1 $.

Allo stesso modo trovo che prima che il penultimo prendesse la sua parte i soldi erano
$ (559872\cdot \frac{n}{n-1} + n-1)\cdot \frac{n}{n-1} + n -2 \ \ = \ \ 559872\cdot \frac{n^2}{(n-1)^2} +2( n-1) $

Con lo stesso procedimento vedo che al terzultimo erano
$ 559872\cdot \frac{n^3}{(n-1)^3} +3( n-1) $

Quinidi generalizzando, prima della prima spartizione i soldi erano
$ 559872\cdot \frac{n^n}{(n-1)^n} +n( n-1) $

Affinche sia un numero intero, visto che $ n $ e $ n-1 $ sono coprimi, $ (n-1)^n $ deve dividere $ 559872=2^8\cdot 3^7 $
Per ipotesi so anche che $ n\geq 5 $

con $ n=5 $ ottengo $ (n-1)^n=2^{10} $ che non è accettabile perchè ha l'esponente troppo grande.
con $ n=6 $ ottengo $ (n-1)^n=5^6 $ che non è accettabile perche 559872 non contiene fattori 5.
con $ n=7 $ ottengo $ (n-1)^n=2^7 \cdot 3^7 $ che è accettabile.
con $ n=8 $ ottengo $ (n-1)^n=7^8 $ che non è accettabile perche 559872 non contiene fattori 7.

per $ n>8 $ l'esponente sarebbe troppo grande , quindi $ n=7 $ è l'unica soluzione
da cui segue che l'ammontare del bottino iniziale era di $ 1647128 $ Gild :)

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