Sistema santannino
Inviato: 03 ago 2013, 20:49
Risolvere il seguente sistema negli interi non negativi: $$a^3-b^3-c^3=3abc$$ $$a^2=2(b+c)$$
Innanzitutto, usando una ben nota scomposizione, riscrivo la prima equazione come:
$$(a-b-c)(a^2+b^2+c^2+ab-bc+ac)=0$$
Ora, osservo che vale:
$$(a-b-c)(a^2+b^2+c^2+ab-bc+ac)=(a-b-c)\frac{1}{2}\left[(a+b)^2+(b-c)^2+(a+c)^2\right]$$
Ricordo adesso che i prodotti si annullano se e solo se almeno uno dei fattori è pari a $0$.
Dunque, questa espressione può essere pari a zero se e solo se i tre quadrati sono pari a zero, ovvero
$a=-b=-c$
oppure se vale:
$a-b-c=0$.
Nel primo caso, sostituendo nella seconda equazione, si ottiene
$b^2=4b\Rightarrow (a=-4, b=4,c=4)\lor(a=0, b=0, c=0)$
Nel secondo caso, vale
$a^2=2a\Rightarrow (a=2, b=2-c,c=2-b)\lor(a=0,b=-c)$
Dunque, tutte e sole le soluzioni $(a,b,c)$ del sistema sono $(0,0,0),(-4,4,4),(2,b,2-b)$
(OT: Salutami Fabio, il tuo compagno di squadra fisico 
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